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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ta tiléorie des équalions modulaires; 

 par M. Hermite. (Suite.) 



« L'étude des fonctions F,(;r, A) et F2(;r, A), qui se présentent avec les 

 mêmes propriétés, conduit à des résultats an.iloguesà ceux que nous venons 

 d'indiquer relativement à 5', [x. A), tandis que g^i^^ A)> qui correspond à 

 l'ordre inipropremenl primitif des classes de déterminant — A, dans le cas 

 de A^— I modS, semble devoir rester entièrement en dehors de cette 

 analogie. Réservant pour un autre moment l'étude de cette fonction, je me 

 bornerai maintenant aux résultats qui concernent les deux premières, et 

 dont voici la principale propriété : 



» Si l'on excepte les cas de A = i, A = 2, l'ensemble de leurs racines 

 peut être décomposé en groupes, qui chacun en comprennent quatre que 

 l'on peut représenter ainsi : 





Il s'ensuit qu'elles sont décomposables en facteurs du quatrième degré de 

 cette forme : 



{x -+- i)*4- a.x{x — i)', 



et qu'on peut ramener les deux équations F,[x, A)=:o, F,{ar, A) = o à 

 un degré quatre fois moindre, moitié par conséquent du nombre des classes 



de déterminant — A, par la substitution j = ^. _■%; • 



» Les considérations arithmétiques qui conduisent à ce résultat montrent 

 en même temps que le nombre des classes de déterminant — A est tou- 

 jours pair lorsque A^i ou ^ a mod 4, sauf les exceptions ci-dessus men- 

 tionnées de A = I, A = 2. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, 

 qu'on pourra calculer comme il suit : 



1°. A^i mod 4- 

 » Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites : 



(i, o, A), ^a, I, ^-^y 



