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unité. Galois, ainsi que je l'ai déjà dit au commencement de ces recher- 

 ches, a le premier découvert le fait si remarquable de cette réduction, au 

 double point de vue de la théorie des fonctions elliptiques et de l'algèbre, 

 et voici, dans ses idées, le théorème qui sert de principe fondamental. 



» Remarquons préalablement que les racines de l'équation modulaire 

 sont représentées par 



V = u" (sin coam ap sin coam 4p- • • sin coam(« — i)j5), 



en faisant 



mK-hm'iK.' 



û = ,- 



' n 



où m et m' sont deux nombres entiers qu'on peut multiplier par un même 

 facteur sans changer la valeur de c. Il en résulte que c'est uniquement le 



rapport — qui définit chaque racine, et comme les deux termes sont pris 



suivant le module n, il reçoit d'une part la valeur oo pour m^o, et de 

 l'autre la série des n nombres entiers o, i, 2,..., « — i. On est donc con- 

 duit naturellement, pour représenter les racines de l'équation modulaire, à 



m' 



la notation V/,, k désignant — et devant représenter les n + i valeurs 00 , 



o, I, 2,..., n — I. Cela posé, voici la proposition de Galois : 



» Toute jonction rationnelle non symétrique des racines i>^ qui ne change pas 



en remplaçant les divers indices k par — -^ a, b, c, d étant des nombres 



entiers pris suivant le module n, et le déterminant ad — bc n'étant pas ^ o (*), 

 sera exprimable en Jonction rationnelle de u {**). 



» J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particularisant la 



substitution — — —■>' de manière que ad — bc soit résidu quadratique 



de «, pourvu qu'on s'adjoigne le radical V (— i) ^ n. Tel est, par exemple, 

 le produit des différences des racines II [v^— c^), qui change de signe ou 



se reproduit exactement, lorsqu'en remplaçant k par -7 -, ad — bc est 



(*) M. Serret a fait des substitutions de cette forme l'objet de ses recherches dans plusieurs 

 articles publiés dans les Comptes rendus, t. XLVIII, séances des 10, 17 et 24 janvier i85g. 



1 *' ) Une démonstration de ce théorème important a été donnée par le P. Joubert dans 

 un travail que j'ai déjà cité (Comptes rendus, t. XLVI, p. 718). 



