( ii3) ^ , 

 non résidu ou résidu quadratique de «, et qui s'exprime, comme on l'a tu 

 § XIII par une fonction rationnelle de u à coefficients entiers, mais affectée 



V(-.) ' n. 



du facteur V (— i) ^ n. En effet, nommant F et F' les deux valeurs que 



peut prendre une fonction rationnelle des racines invariable par les substi- 



P p' 



tutions où ad — bc est résidu, les deux expressions F + F', —, r reste- 



^ n (ci — Pi/) 



ront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront ration- 

 nellement en «, d'après la proposition de Galois; il en résulte que F et F' 

 s'exprimeront elles-mêmes sous la forme annoncée. 



•> Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations 

 modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une étude plus appro- 

 fondie des substitutions — -■, et dont quelques traces seulement sub- 

 sistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'est en 

 suivant la voie qu'elles indiquent, que M. Betti a retrouvé l'importante pro- 

 position relative aux équations du sixième, du huitième et du douzième 

 degré, et l'extrait suivant d'une Lettre que m'a fait l'honneur de m'adresser 

 ce savant géomètre montrera comment de cette manière se présentent les 

 résultats auxquels de mon côté je parvenais par une méthode toute diffé- 

 rente : 



« Pise, 2^ mars 1869. 



» Dans un Mémoire Sopra r abassamento deW equazioni tnodulari, publié 

 » en i853 dans les Annali di Torlolini, j'ai fait l'élude des substitutions 



» (i)^j — -.i pour démontrer la possibilité de l'abaissement des équations 



» modulaires, et j'ai obtenu les résultats que vous me communiquez dans 

 u votre Lettre. 



» Voici pour le modulepremier n^ ^ p-h3 les expressions que j'ai trou- 

 » vées alors pour la décomposition en n groupes du groupe dont toutes les 

 » substitutions sont données par la forme ( i ) où ad — bc est résidu de n. 



» Si g' est une racine primitive de «, jouissant de cette propriété, que g- — i 

 » étantrésidu de «, les puissances impaires <«— a deg vérifient la congruence 



[g^ jf:^ — g(g -)- i)ar+ i][g' j:^ — (g+ i)jc4- i]^o mod « 



» (ce qui n'arrive que pour n = 7, 1 1 ), on aura, si l'on fait 



