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 lorsqu'on fait la substitution ( "^ ) ; et si l'on vérifie encore qu'il en est de 



même à l'égard de celle-ci ( j> on arrivera à cette conclusion qu'ils 



demeurent invariables pour toutes les substitutions où l'on met, au lieu 



de k, — — -1 ad— bc étant résidu de n. En effet, cette expression, dans 



toute sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que nous 

 venons de considérer. Le théorème du § XIV suffit donc pour nous 

 assurer que les équations réduites en z auront pour coefficients des fonc- 

 tions rationnelles de m, où ne figureront d'irrationnelles, suivant les cas, 



que les radicaux v^5, s/— 7, v^— 11. 



» Si l'on cherche maintenant les substitutions spéciales ( * V qui 



laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, z-q par 

 exemple, on trouvera aisément ces résultats, où ae\. b désignent des résidus 

 quadratiques de n, savoir : 



— a 



Q[k)~ak, -^, a'-^, 



■ a 



n=ii 6{k) = ak, ~, a-y-^. 



k — 7.b 



Ce sont les expressions auxquelles M. Betti est arrivé par une autre voie, et 

 qui forment en général substitutions conjuguées, de sorte que toutes 



les quantités -7 -j» où «fi?— ic est résidu quadratique de ra, peuvent être 



ainsi représentées : 



B{k+i), 



i étant un nombre entier pris suivant le module». 



» Enfin si l'on désigne par ry(,) ce que devient z, lorsqu'on effectue sur 

 les racines v les substitutions que nous avons considérées, on trouvera 

 pour : 



« = 5 (f [i) ^ ai -\- b ^^ {ai-h by -h c, 



n= '] <f {i)^ai + b ^ — [ai + bf — 1 {ai -h by -\- c^ 



.n=ii f{i)^ai-hb^ {ai ■+- b)* -h ^ {ai -h b)* -h c, 



