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 diverses applications. Les titres de sept chapitres, concentrant chacun phi- 

 sieiirs leçons, peuvent résumer cette exposition, et un article à la suite de 

 chaque titre suffira pour indiquer les points de vue nouveaux qui lui cor- 

 respondent, et qui résultent de recherches inédites. 



I. Définition des coordonnées curvilignes. — Paramètres différentiels. 

 — Formules de transformation. 



» Dès ce dehut, il m'a paru indispensable d'introduire une expression 

 nouvelle, pour désigner toute quantité qui a une valeur déterminée en 

 chaque point d'un espace limité ou indéfini, laquelle valeur change d'un 

 point à un autre. Je l'appelle une fonction- de -point. Cette dénomination 

 embrasse : le potentiel dans la théorie de l'attraction; la pression dans un 

 fluide en repos ou le paramètre des surfaces de niveau; la température 

 dans un milieu en équilibre de chaleur ou le paramètre des surfaces iso- 

 thermes; la projection, sur un arc fixe, du déplacement moléculaire dans 

 la théorie de l'élasticité; enfin, et plus généralement, le paramètre de toute 

 famille de surfaces. D'après sa définition, une certaine fonction-de-point 

 particularise l'étendue à trois dimensions, comme une certaine surface, ou 

 comme une certaine courbe, particularise l'étendue à deux dimensions, 

 ou à une seule dimension. De même que la surface ou la courbe, cette fonc- 

 tiou-de-point peut être rapportée à une infinité de systèmes coordonnés 

 différents. Mais lorsqu'on passe d'un système à un autre, certains éléments 

 caractéristiques restent invariables. Tels sont, pour la fonction-de-point, 

 ses paramètres différentiels du premier et du second ordre ou ses dérivées 

 naturelles qui, définissant ses propriétés géométriques ou physiques, con- 

 servent les mêmes formes et les mêmes valeurs numériques en chaque 

 point, quel que soit le système coordonné. (Mémoire sur tes paramètres diffé- 

 rentiels des fonctions-de-point. ) 



II. Théorème fondamental de M. Dupin. — Courbures des surfaces orthogonales 

 et de leurs arcs d'intersection. 



» Lorsque les équations de la Dynamique, ou celles de la Physique ma- 

 thématique, sont transformées en coordonnées curvilignes, les formules de 

 ce second chapitre permettent de les exprimer sans paramètres d'aucune 

 espèce, à l'aide des courbures des surfaces conjuguées et des variations 

 suivant les arcs d'intersection. De telle sorte que les nouvelles expressions 

 analytiques énoncent elles-mêmes leur interprétation géométrique. Mais, 

 afin que ce but soit toujours atteint, il est essentiel d'introduire pour 



