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/fix) 

 ^~dx sera eo général le même que celui de s{x). 



n Cela revient à dire que la somme des valeurs que prend f{x), quand 

 on y remplace x par tous les nombres premiers inférieurs à x, est égale à 



la somme de toutes les valeurs que prend '^—^ — en donnant à x toutes 



les valeurs depuis 2 jusqu'à x. 



» On voit qu'il y a au fond de cette théorie cette grande question des 

 valeurs mojennes dont l'illustre et regrettable Lejeune-Dirichiet avait déjà 

 tiré de belles conséquences. *■ 



» L'étude approfondie de cette question semble être indispensable à 

 l'avancement et à la liaison des recherches qui nous occupent. Aussi doit- 

 elle être recommandée à tous ceux qui voudraient étudier les nombres pre- 

 miers. 



» On conçoit que la règle que nous venons d'énoncer pour trouver le 

 premier terme de s{x) peut donner un nombre indéfini de théorèmes sur 

 les nombres premiers. Nous choisirons quatre exemples : 



» 1°. Trouver le premier terme de la somme des inverses des nombres 

 premiers. Ici 



/(x) = i; donc fÇfldx=f-^= f^^ = \og{]ogx). 



Ce résultat avait déjà été trouvé par Euler {Introduction à l'Analyse infinité- 

 simale, traduction de Labey, t. F'', p. 218). 



a a°. Trouver le premier terme de la fonction qui exprime le nombre des 

 nombres premiers inférieurs à x. Ici 



f{x) = i; donc Çùfldx= fr^. 



J ~ I ■> J logx J logj: 



/dx 

 que M. Tche- 



bychef, dans un de ses excellents Mémoires, donne comme représentant 

 assez bien le norijbre cherché [Journal de Mathématiques, t. XVII). Mais 

 déjà en septembre 18 10 on trouve, dans la correspondance de Bessel et 



à très-peu près égal au nombre des nombres premiers inférieurs à x; aussi 

 désirait il la continuation de la Table donnant les valeurs numériques de 

 cette intégrale. 



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