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» 4°- Qu*' si cette intégrale a est du second degré, elle sera de la même 

 forme que celle des forces vives, c'est-à-dire a = U, — T,, U, étant indé- 

 pendant de /?,, pa 1 • • • 1 Pn > 6t T, homogène et du second degré par rapport 

 à ces variables. 



» T, se déterminera par la condition (T, T,) = o, et je donne ensuite 

 une méthode générale pour trouver U et U, quand cela est possible. 



» Appliquant les théories précédentes au mouvement d'un point dans un 

 plan, je trouve pour intégrale du premier degré uniquement celle des aires, 

 et pour intégrale générale du second degré une intégrale qui peut se ra- 

 mener à 



i (M= — NM ([x'— b') (b'—v') -f- (pt' — é')/(v) -+- (6^ - V») F(» 



a = ; ; ; 



elle correspond à U = ^^ , ? / et F étant des fonctions arbitraires, 



fi et V les coordonnées elliptiques du point mobile, et 2^ la distance des 

 foyers du système, M et N les variables conjuguées de /x et v. 



» Pour le cas où le point se meut sur une surface, j'emploie pour coor- 

 données les paramètres q, et q^ de deux systèmes de courbes orthogonales 

 tels, que l'on ait, ce qui est possible d'une infinité de manières, 



X étant une fonction de q, et Çj. Je pose ensuite 



7. + 7W— 1 = -^» q< — q2\ — i=f; 



d'où 



ds'^ = \clxdf. 



Cette forme, due à M. Liouville, a l'avantage qu'elle ne change pas quand 

 on y remplace x par une fonction de x et j- par une fonction de j. J'arrive 

 aux résultats suivants, u et i' désignant deux variables nouvelles, fonctions 

 des précédentes : 



» 1°. Pour qu'il ait une intégrale du premier degré, il faut qu'on puisse 

 ramener ds^ à la forme 



(0 ds'=/{i>){du'-hd^''), 



c'est-à-dire que la surface soit développable sur une surface de révolution. 



