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MÉMOIRES LUS. 



THÉORIE DES NOMBRES. — Nouvelles recherches sur les nombres premiers; 

 par M. A. de Polignac. (Suite.) 



(Commissaires précédemment nommés : MM. Liouville, Lamé, 



Hermite.) 



« Il n'est pas difficile de conclure d'une formule que j'ai déjà donnée 

 {Comptes rendus, séance du 23 novembre 1857) un théorème énoncé par 

 M. Tchebychefen i853, mais dont la démonstration n'a pas été publiée, 

 que je sache. 



» Ce théorème consiste à dire que, pour jt très-grand, le premier terme 

 de la différence des nombres premiers de la forme 4«+3 et 4" + ! 

 est : 



» Voici la formule dont je viens de parler; on a 



(X) 2'«g(^-+'")=i:2:iog?cw(j^)' 



où m reçoit toutes les valeurs i, 2, 3, . . . , où A est un nombre entier pair 

 donné, r* un nombre premier et inférieur k k et r un autre nombre quel- 

 conque premier-et-inférieur à A, tel que : 



r.c{r)^r' (modA); 



l'équation (1) en contient M, M étant le nombre des nombres premiers-et- 

 inférieurs à k; d'ailleurs, en désignant par 0,{jc), $r{^)t ^r'{^)f ■ •■, '^ 

 produit de tous les nombres premiers de la forme mk -+- i , mk ■+- r, 

 mk-h r',. . .; r, r', r", ... étant tous les nombres premiers-et-inférieurs à 

 k, on a : 



]og(p^(j:) = loge^(x) + £(j:), 



e{x) étant de degré inférieur à \/x. D'ailleurs, dans chaque cas particulier, 

 e(x) est facile à écrire. Faisons dans (i) : A =: 4; alors nous aurons les deux 



