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GÉOMÉTRIE. — Sur la courbure des surfaces; par M. Babinet. 



« Si, sur un cercle, à partir d'un point quelconque, on prend un arc s, 

 la courbure de cet arc sera mesurée par l'angle (p que font entre elles les 

 deux tangentes extrêmes, ou, ce qui revient au même, à l'angle égal que 

 font entre eux les rayons menés aux deux extrémités de l'arc de cercle. I.a 

 mesure trigonométrique de cet angle pour le rayon i sera 



r étant le rayon du cercle. S'il s'agit d'une courbe quelconque dont /• soit 

 le rayon du cercle osculateur au point que l'on considère, on aura 



, (is 



ou bien 



rftp I 



ds r 



Ainsi la courbure '-^ sera mesurée par la réciproque du rayon du cercle 



osculateur. Il n'y a rien de nouveau dans cela. 



i> Si l'on réfléchit à ce qui fait que le cercle diffère de la tangente,, on sera 

 conduit à en mesurer la courbure par l'espace de contingence compris entre 

 le cercle et la tangente, en limitant cet espace à une distance très-petite £ à 

 partir du point de contact. Cet espace ayant une base très-petite £ et une 



hauteur maximum — sera évidemment une quantité petite du troisième or- 

 dre. Soit X une distance petite prise à partir du point de contact, l'élément de 

 la surface de contingence aura pour mesure dx multiplié par la hauteur — , 



qui est la distance du cercle à la tangente, et, en intégrant de o à s l'ex- 

 pression 



dxx—i 



2r 



on aura 



e I 

 « X - 



O r 



La courbure ainsi définie serait doTic, comme à l'ordinaire, mesurée par la 



^ 



