( 4ao ) 



» Je dois à notre confrère M. Duhamel de m'avoir fourni la démonstra- 

 tion de ce théorème. 



» En suivant les mêmes inductions que pour la sphère, on sera conduit 

 à mesurer la courbure d'une surface convexe par 



ou bien par 





s'il s'agit d'une surface à deux courbures opposées, comme, par exemple, la 

 surface d'un tore le long de son cercle de gorge. 



» On arrivera pour la sphère à la même mesure si l'on veut prendre 

 pouV définition de sa courbure l'espace de contingence compris entre la 

 sphère et son plan tangent, d'après l'idée que cet espace constitue la diffé- 

 rence qu'il y a entre un plan et celte surface. Cet espace, étant limité à 

 une petite distance e du point de contact, aura pour base un cercle na* et 



une hauteur maximum égale à — (S étant le rayon de la sphère). Il sera 



donc une quantité petite du quatrième ordre. 



» Un élément différentiel de ce volume, pris à une distance x du point de 



contact, aura pour base inxdx, et pour hauteur — ; sa solidité sera donc 

 nx^ dx -• Cette expression intégrée de zéro à s est 



' 4 ' 



» La courbure de la surface ainsi mesurée est donc, comme à l'ordinaire, 



proportionnelle à la réciproque ^ du rayon de la sphère. 



M II reste à faire voir que pour une surface quelconque l'espace de con- 

 tingence est proportionnel à 



2 \R "*" R' 



)) Si la courbure était constante tout autour du point de contact, on aurait 

 comme tout à l'heure pour l'élément de ce volume de contingence 



znxdx — 



2r 



