( 4^1 ) 



Pour lie prendre ce voliiine qu'entre deux plans normaux faisant un petit 

 angle da. entre eux, il faut diminuer cette expression dans le rapport de 

 da. à 2 7T, et l'on obtient 



Mais on sait que l'on a 



daxdcc ^• 



— cos''a + ^7 sur a 



( a étant l'angle qu'une section normale quelconque fait avec le plau qui 

 donne la section dont R est le rayon de courbure), il faudra donc intégrer 

 depuis X = o jusqu'à x = J^ et depuis a = o jusqu'à a = a n. La première 



intégration donne ^ — > ou bien -s ^^ il. cos" « + g7 sin" a ) • 



» L'intégrale complète par rapport à a est 



8 5 ~ ( û' + sin a cos a j + ^/ - \'^~ si" « cos a ) U 



l'intégrale prise dea = oàa=2nse réduit à 



ou bien 



En y faisant R= R' = S pour retrouver la sphère, on retombe sur 



comme précédemment. 



» Nota. Indépendamment de toute application à la mesure de la cour- 

 bure des surfaces, le théorème qui résulte de cetle Note est le suivant : 



» L'espace de contingence compris entre une surface et son plan tangent est 

 proportionnel à la moyenne des réciproques des deux rayons de courbure de 

 deux sections normales à plans rectangulaires entre eux. 



» En général, une surface n'admet point de sphère osciilatriee en un point 

 quelconque, mais si l'on ehercUe les deux sections conjuguées qui auraient 

 deux rayons de courbure égaux, on pourra faire passer une sphère par les 



