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partir de c( = 2) il y a toujours entre rt et 4« un nombre premier de la forme 

 4 « + I et un nombre premier de la forme 4 « + 3. 



» La démonstration de ce théorème, que je crois nouveau, est assez 

 simple. Je vous rappelle quelques définitions : je désigne par n {x) le pro- 

 duit de tous les nombres premiers jusqu'au nombre premier immédiate- 

 ment inférieur k x; (p [x] est une fonction telle, que 



log(p{x)—lo§li{x) + \ogi}.[x'^)-hlog[j.[x'^) +\og[i{x*) + 



Désignons encore par ii'{x) le produit des nombres premiers impairs, en 

 sorte que fx' [x) = ^^^, et par ?'(ar) une fonction telle, que 



\og(j)'{x) = \ogiJ.'{x) -h\og[j.'\x^) -+- log/x' (a?3 j + logp!,'(;c*j + . . .. 



Lorsque x est donné, la série des termes dont la somme compose log(p(x), 

 est limitée, et pour trouver le dernier de ces termes il suffira de poser 



X" > 1, .x""^' < 2 ; de là on déduit immédiatement 



log9(a:) — logip'(jr) = log.r — sloga avec js^ '5 



donc 



(i) log9'(x)> logî)(j?) -logx, 



(2) log(jp'(j:) < logip(j:) — logj? 4- loga. 



Maintenant on trouve aisément deux expressions finies ne contenant que 

 des valeurs algébriques ou logarithmiques, et comprenant log ^[x); si l'on 

 adopte les expressions données par M. Tchébychef dans son excellent 

 Mémoire (publié dans le Journal de Mathématiques)^ on aura 



5 



(3) \og<p{x)>J[x) et f{x) = kx-^\ogx- \, 



et K ft 



(4) • \og(f{x)<¥{x) et Y{x)=^-^kx + j^^\og^x-\--^\ogx + i. 



D'ailleurs 



i i ' 

 2 ^ 3' 5 ' 



A = log T7" = 0,92129202. 



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