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Pour h = o, eUe devient -; et je dis qu'il en est de même du rapport des 



dérivées des deux termes, prises par rapport à A, jusqu'à l'ordre « — 2 in- 

 clusivement ; mais que le rapport des dérivées d'ordre n — i a pour limite 



â-^ ^/""'(«)• 



1.2.3. ..(« — i)"' ^ ' 



' » En effet, la p'^'"" dérivée du numérateur est .„ 



± („ _ i) ïfp(a -i-h)- ^ 2P-*fP{a + a A) 



-...±(n-.r'/^[a + (n-,)A]} 



Si l'on y fait h = o, toutes les dérivées d'ordre p, relatives à h, se confon- 

 dent avec la dérivée /''(«), relative à a, et l'on a 



± (« - O/na) [i---^ a"- + (A=ll^3-' - . . . ± („ _ ,)-]. 



» Or on sait que la somme entre parenthèses est nulle pour toutes les 

 valeurs entières de p, depuis 1 jusqu'à n — 2, et qu'elle se réduit, pour 

 p = n — I, à ±i.a.3...(« — 2) (le signe + convenant au cas où n est 

 pair) n. 



» D'ailleurs les n — 2 premières dérivées du dénominateur sont évidem- 

 ment nulles pour h = o, et la (n — i)'*'"" est égale à [i .2.3. . .(« — i)]*. 



M Donc le rapport des dérivées d'ordre n — i a pour limite 



l.2.3...(«-2)(/z-l)/'-'(a) _ 1 fn-\(„\. 



[1.2.3. ..(« — !)]' ~" 1.2.3. ..(«—l)-^ ^ l' 



ou enfin, d'après le théorème établi, 



A da I .2 da' i.2.3...(rt — i) da"-' 



(^-;o-"^F=^p'^(^^=Tp-+----+ i^ C.Q.F.D.» 



(*) Ces propositions découlent immédiatement de la formule des différences finies 



m m (m — i ) , 



\"u = u„ ï<„_, H i '- «„_: — ... ± a, 



I 1.2 



en faisant a = x? et m =n — 1 . 



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