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 vers laquelle tend pour h=: o la somme des résidus de la fonction 



(2) iW , 



^ ' (x — a — p^h){x — a — p2li)...[x — a — p /i)' 



pris successivement par rapport aux racines a -t- p,h, a + p^h, . . . , a -+- p^h. 

 V Or le résidu de la fonction (2), relatif à la racine a -+- pih, est, par dé- 

 finition, égal à la moitié de 



y(z) (z — g — Pif') 



(z — a — pji){z — a — p^h). . .{z — a — pjt) 



pour z^= a + pih, c'est-à-dire à 



^(a +pih tf{a-^pih) 



Ip — Pij 



en posant 



{p—p*){p -P2)---{p- p«) = Hp)- 



La somme des résidus de la fonction (a) est donc 



Y y(a+M) _ fia) -y p ?'(«) -y P . ?"(«) y P' . 



Aa«-9'(«] h'^-'^Q'iP) i.h--''^^'{P) I.2.h^-^'^^'{P) 



•'ph'^-'Q'ip) h 



,(a-,)-^e'(y,) 



a— I / „\ „a — I 



En vertu d'un théorème connu, et qui résulte d'ailleurs de la décompo- 

 sition d'une fraction dans le cas de facteurs simples, on a 



p' 



— o ou I 



ie'(;,) 



pour k <C ou = a — I . 



» Le second membre se réduit donc de lui-même à ses deux derniers 

 termes; sa limite pour A = o est donc enfin 



I.2...(a — I)' 



qui n'est autre que le résidu de la fonction (i) par rapport à a. 



» Tel est, ce nous semble, le vrai point de vue ; la solution est courte, 

 facile ; on n'emploie aucun principe étranger à la théorie même des fractions 



