Fliissigkeitsbewegung 



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dauernd dieselbe blcibt. Hier haben auch 

 die Stromrohren dauernde (lest ah, und es 

 stimmen deshalb auch die Bahnen mil dm 

 Stromlinien iiberein. 



Um die Darstellung weitor zu verein- 

 fachen, besehrankt man sich him fig auf die 

 Betrachtung eines einzigen Stromfadens. 

 Dieses besonders von den Ingenieuren be- 

 vorzugte Verfahren 1st vor allem da am 

 Platze, wo es sich um Stromungsvorgange 

 in Kohrleitnngen und Kanalen handelt. Man 

 betrachtet entweder einen Stromfaden, der 

 mittlere Verhaltnisse aufweist, oder aber 

 man betrachtet den ganzen Kanal als eine 

 einzige Stromrohre und erhalt dann Aus- 

 sagen liber die Mittelwerte der Geschwindig- 

 keit in den einzelnen Kanalquerschnitten. 

 Die Wirkung der Fliissigkeitsreibung, deren 

 Beriicksichtigung bei der strengen Behand- 

 lung fast uniiberwindliche Schwierigkeiten ! 

 bietet, la'Bt sich bei dieser vereinfachten ,,ein- 

 dimensionalen" Darstellung den Ergeb- j 

 nissen der Versuche entsprechend summa- 

 risch beriicksichtigen, was besonders fur die 

 praktische Anwendung von groBer Bedeu- 

 tung ist. 



Das Gesamtgebiet der eindimensional ; 

 behandelten Aufgaben wird heute unter 

 dem Namen Hydraulik zusammengefaBt. 

 Die mehrdimensionale Behandlung fiihrt 

 den Namen Hydrodynamik. Sie fiihrt 

 naturgema'B viel tiefer in das Verstiindnis 

 der Stromungsvorgange em, erfordert aber 

 zu ihrer Beherrschung umfassende inathe- 

 matische Kenntnisse. Es ist dabei zu betonen, 

 daB die mathematische Hydrodynamik ihre 

 Aufgaben nur in einer stark idealisierten 

 Form zu behandeln vermag. Insbesondere 

 muB mit Riicksicht auf die Durchfiihrbar- 

 keit der Rechnungen meist auf die Beriick- 

 sichtigung der Reibung verzichtet werden. 

 Dies hat naturlich zur Folge, daB die Resul- 

 tate nur in solchen Fallen Schliisse auf die 

 wirkliche Fliissigkeitsbewegung zulassen, in 

 denen die Reibung von geringem EinfluB 

 ist. Gliicklicherweise weisen gerade die 

 technisch wichtigsten Fliissigkeiten, Wasser 

 und Luft, eine verhaltnismaBig sehr geringe 

 Reibung auf, so daB die fiir die ,,ideale 

 reibungslose Fliissigkeit" gewonnenen Resul- 

 tate der Hydrodynamik immerhin in vielen 

 Fallen auf die wirklichen Fliissigkeiten an- 

 gewandt werden kb'nnen. 



2. Kontinuitat. Von dem im Abschnitti 

 besprochenen Momentbilde der Geschwindig- 

 keitsverteilung ist zu fordern, daB es der 

 Kontinuitat geniigt, d. h. es miissen sich die 

 einzelnen Fliissigkeitsteilchen so nebenein- 

 ander her bewegen, wie es der Erhaltung 

 ihres Volumens entspricht. Wenn das ganze 

 Stromungsfeld bereits in der besprochenen 

 Weise in einzelne Stromrohren aufgeteilt ist, 

 dann ist leicht zu sehen, was die Kontinuitats- 



bedingung zu bedentcn hat. Wie erwiihnt, 

 stromt die Fliissigkeit in einer Stromrohre 

 wie in einer fesleii Rohre. Die Forderung, 

 daB jedcs Fliissigkeitselement sein Volumen 

 licihcliiilt, la'Bt sich hier einfach so formu- 

 licicn, daB clurch jeden Querschnitt der 

 Stromrohre in der gleichen Zeit gleichviel 

 Fliissigkeitsvolumen durchtreten muB; denn 

 eine Ungleichheit des durchstromcnden Volu- 

 mens zwischen zwei Querschnitten wiirde 

 eine Anhaufung oder Verringerung der 

 Fliissigkeitsmasse zwischen ihnen darstellen. 

 Bedeutet w die Geschwindigkeit und F den 

 Querschnitt der Stromrohre, so ist das in der 

 Zeiteinheit clurch den Querschnitt hindurch- 

 stromende Volumen V = = F . w, es ist also 

 die auf alle Querschnitte der Stromrohre an- 

 gewandte Gleichung 



F . w^= const (1) 



die Kontinuitatsgleichung fiir eine Strom- 

 rohre. Wird in der Hydraulik ein ganzer 

 Kanal oder eine ganze Rohre als eine einzige 

 Stromrohre betrachtet, so gilt Gleichung (1) 

 ebenfalls, und zwar in der Weise, daB F 

 den Querschnitt des ganzen Kanals und w 

 den Mittelwert der Geschwindigkeit in 

 diesem Querschnitt darstellt. 



Um (lieKontimiitatsgleichimg der mathemati- 

 schen Hydrodynamik zu erhalten, betrachtet 

 man ein Raumelement dx.dy.dz, und fordert, 

 daB durch seine Seitenflachen ebensoviel Fliissig- 

 keit eintritt als austritt. Sind u, v, w die Ge- 

 schwindigkeitskomponenten in Richtung der 

 Koordinatenachsen X, Y, Z, so stromt, wenn man 



dz 



dx 



Fig. 1. 



zunachst nur die X-Komponente betrachtet, 

 in der X-Richtnng mehr aus als ein (vgl. Fig. 1) 



dy.dz (u + -^dx) dy.dz.u 



5u 



= dx.dy.dz. r 

 dx 



Aehnliche Betrage liefern die Y- und Z- 

 Richtung. Die Bedingung, daB im ganzen eben- 

 soviel ausstromt, als einstromt, erhalt demnach 

 die Form: 



ou dv dw 

 Anmerkung: Die GroBe r + ^ I- ^-- wird 



Divergenz der Geschwindigkeit genannt. 



