Fl ilssigkei tsbewegi 1 1 1 - 



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Der Wert dieses ,,Linienintegrals", eben die 

 Zirkulation (F), ist nun gleich der algcbraischen 

 Sunime der Wirbelstarken derjenigen Wirbel- 

 rohren, die von der geschlossenen Kurve um- 

 schlungen werden. 



Ist in einer im iibrigen drehungsfreien Fliissig- 

 keit ein Wirbelfaden vorhanden, so ist die Zir- 

 kulation fur alle den Wirbelfaden umschlingenden 

 geschlossenen Linien gleich der Starke des Wirbel- 

 fadens, fiir alle ihn nicht umschlingenden Linien 

 gleich Null. (Fiir einen geraden Wirbelfaden 

 ergibt sich hieraus leicht, daB die von dem Wirbel- 

 faden verursachte Geschwindigkeit im Ab- 

 stande r von der Wirbelachse umgekehrt propor- 



r 



tional r, namlich gleich ^ ist.) 



w If 1 



Fiir einen solchen Wirbelfaden in einer 

 drehungsfreien Fliissigkeit besteht eine voll- 

 kommene Analogic zu dem Biot-Savartschen 

 Gesetz der Elektrodynamik. Dem stromdurch- 

 flossenen Leiter entspricht der Wirbelfaden 

 und der Starke des magnetischen Feldes die 

 Stromungsgeschwindigkeit. Jedes Element des 

 Wirbelfadens liefert zur Strb'mungsgeschwindig- 



-Tsina ds 

 keit einen Beitrag von der Grooe -% 



senkrecht zu ds und r (vgl. Fig. 3). 



Anmerkung: Bei der 

 Potentialbewegung be- 



deutet das Linienintegral 

 zwischen zwei Punkten 

 nichts anderes als den 

 Unterschied der Poten- 

 tiale in diesen Punkten: 



die dynamischcn Untersuchungen. Bei 

 einer s t a t i o n a r e n Fliissigkeitsbe wegung ent- 

 steht eine Beschleunigung der einzelnen 

 Fliissigkeitsteilchen dadurch, da6 sie durch 

 ihre Bewegung an Orte gelangen, wo die 

 die Geschwindigkeit anders ist, als an dem 

 bisherigen Ort. Teilt man die Beschleunigung 

 in eine longitudinale und eine transver- 

 sale Komponente, so erhalt man zuniichst 

 fiir die erstere, indem man die Veranderung 

 der Geschwindigkeit langs einer Stromlinie 

 betrachtet (ds sei das Linienelement auf der 

 Stromlinie) : 



dw dw ds 



di 



ds ' dt ' 



ds 



da aber nichts anderes ist als die Ge- 

 dt 



schwindigkeit w, so wird 



dw 



W 



dw 



dt 



Der transversale Anteil der Beschleunigung 

 ist nichts anderes als eine Zentripetal- 

 beschleunigung. 1st r der Krunmmngs- 

 radius der Stromlinie, so ist ihr Betrag 



w 2 

 gleich . Ist die Stromung nicht statiomir, 



so resultiert aus ihrer zeitlichen Veranderung 

 ein weiterer Beitrag zur Beschleunigung; 

 er ist gleich der zeitlichen Aenderung, die 

 die Geschwindigkeit an ein und demselben 

 Orte erfahrt. 



Der vollstandige Ausdruck der Beschleunigung 

 in kartesischen Koordinaten ist nach Euler 



Fig. 3. es ist deshalb hier fiir ge- 



schlossene Linien gleich 



Null. Ausnahmen kommen bei den mehrdeutigen 

 Potentialen vor, die viel Aelmlichkeit mit den 

 Wirbelbewegungen haben (vgl. II, 2e). 



Als ein weiteres Beispiel der Drehbewegung 

 kommen die unstetigen Fliissigkeitsbewegungen 

 in Betracht, wie sie in der Theprie der reibungs- 



freien Flussigkeit 

 betrachtet werden. 



"" Bei diesen Bewegun- 

 - gen bestehen in der 



-^-^-^-^^-^-^-^: Flussigkeit Tren- 

 -------------- nungsflachen, auf 

 ^ t" -""" ~~. - ~" '-~~~ "~ ^ deren beiden Seiten 



die Flussigkeit ver- 



^_ schiedene Geschwin- 



. digkeiten hat. Man 



^ 1 S- * kann dieses Ueber- 



einanderweggleiten 



der beiden Fliissigkeitsteile auffassen als die 

 Wirkung von dicht nebeneinanderliegenden 

 Wirbelfaden, welche die Flussigkeit in der 

 Richtung senkrecht zur Geschwindigkeitsdiffe- 

 renz durchziehen (vgl. die Fig. 4). 



4. Beschleunigung. Die Berechnung 

 der Beschleunigung in einer stro'menden 

 Flussigkeit ist eine wichtige Voraufgabe fur 



Dv 



dt 



Dw 



dt 



~~ "dt H 



dv 



dx " V 9 



w 



dw 

 dz~ 



(5) 





Anmerkung: Der Ausdruck -j heifit lo- 



ot 



kaler Differentialquotient, weil er die Verande- 

 rung bei festgehaltenem Orte wiedergibt. Die 



Glieder u - , v^ usw. nennt man konvek- 



dx by 



tive Glieder, weil sie die Aenderung angeben, 

 die von der Ortsveranderung (Konvektion) her- 



ruhren. Die Summe von beiden, -^, wird sub- 



stantieller Differentialquotient genannt, weil 

 er die Aenderung angibt, die ein bestimmtes 

 Teilchen der Substanz bei seiner Bewegung 

 erfahrt. 



II. Dynamik. 



i. Druckgleichung. Das Fundament 

 der Dynamik ist die Gleichung 



Kraft : Masse X Beschleunigung. 



