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Miissigkeitsbewegung 



Leonhard Enler aufgestellten Gleichungen 

 zum Ausdruck gebracht. 1st p der Druck, 

 Q die Dichte, und sind X, Y, Z die Kompo- 

 nentcn der Massenkraft g, so werden die 

 Besehleunigungen in den drei Koordinaten- 

 ric-htungfii (vid. T, 4) 



Du 



dt 



Dv 

 dt 



l)w 



1 dp 



Q dx 



lap 



1 dp 

 Q dZ 



Diese Gleichungen bilden zusammen mit 

 der Kontinuitatsgleichung die yollstandige 

 mathematische Definition der idealen rei- 

 bungsfreien Fliissigkeit. 



Sehr wichtig ist nun der Satz von La- 

 grange,daB eine idealehomogene Fliissigkeit. 

 wenn sie keine Drehung (vgl. I, 3) besitzt. 

 unter der Wirkung von Druckkraften und 

 von drehungsfreien Massenkraften niemals 

 eine Drehung erlangen kann (die hauptsach- 

 lichste Massenkraft, die Erdschwere, ist 

 bekanntlich immer drehungsfrei, besitzt ein 

 Potential). Bewegungen aus der Ruhe 

 heraus sind demnach immer drehungsfrei. 



Nach I, 3 laBt sich die Stromung in 

 solchen Fallen immer durch ein Potential <P 

 darstellen, was eine auBerordentliche Ver- 

 einfachung der Aufgabe ist. Damit durch 

 ein solches Potential eine mogliche Fliissig- 

 keitsbewegung dargestellt wircl, ist nur er- 

 forderlich, da6 die aus dem Potential ab- 

 geleiteten Geschwindigkeiten der Kontinnitat 

 geniigen. Die mathematische Bedingung 

 hierfiir ist: 



geniigen. Fiir diese Gleichung kennt man 

 sehr viele Losungen, indem namlich sowohl der 

 ! reelle wie auch der imaginare Teil einer jeden 

 I analytischen Funktion der komplexen GroBe 

 x+i y eine Losung darstellt. Schreibt man 

 <2>+i W = f(x+i y), so ist, wenn $ als Potential 

 genommen wird, *F die sogenannte ,,Strom- 

 funktion". Diese ist der zwischen dem jeweils 

 betrachteten Punkte und einem festen Punkte 

 (^ = 0) in der Zeiteinheit hindurchstromenden 

 Fliissigkeitsmenge proportional; die Linien 

 *P= const, sind deshalb Stromlinien. Durch die 



fro Be Beweglichkeit dieser mathematischen 

 lethode hat man bei der ebenen Stromung eine 

 groBe Reihe schwieriger Aufgaben erledigen 

 konnen, deren Durchfiihrung bei der raumlichen 

 Stromung uniiberwindliche Hindernisse entgegen- 

 stehen. 



Aus den Eulerschen Gleichungen er- 

 gibt sich fiir die drehungsfreie Bewegung 

 durch Integration die ,,Druckgieichung" in 

 der Form: 



U ist hierbei die 

 Kriiftefunktion der 

 Massenkraft (im Fall 

 der Erdschwere 

 gz); f(t) ist eine 

 wiilkiirliche Funktion 

 der Zeit, die ans- 

 driickt , daB durch 

 Einwirkungen auf die 

 Oberflache der Fliis- 

 sigkeit der Druck im 

 ganzen Eaume gleich- 



zeitig 



Fig. 9. 



um wiilkiir- 

 liche Betrage geandert werden kann. 



Beispiele: a) Bewegung um einen Stau- 



(8) 



dx 2 ' " dy 2 



oz 2 



I'li ii Gewinn dieser Darstellnng. den man 

 nicht hoch genug einschatzen kann, ist 

 darin VAX sehen, daB man wegen des linearen 

 Cliaraklcrs der Gleichung durch Addition 

 vim /.wci bcliebigen Losungen ^ l und ^ 2 

 inimcr \\icder neue Losungen gewinnen 

 kaun. i!!ci den Bewegungen mit Drehung 

 ist dies nicht mchr der Fall.) 



> s iii<! l'i viner Fliissigkeitsstromung die 

 Geschwindigkeiten iiberal] parallel zu einer 

 Cbene, und isl die Stromung in senkrecht 

 iibereinanderliegenden Punkten aller Parallel- 

 ebenen diesdbc. si, spricht man von einer 

 ,,ebenen Si rnin u n 



! i^ finer cbcnen Stromung ac- 

 laten x und y. Das Stro- 

 ;spotential , r Gleichung 



punkt: Es sei * = a - (x 2 + y 2 ) z 2 ), so ist 



\ / 



u : = ax, v ; = ay, w = - 2 az. Die Strom- 

 linien sind kubische Hyperbeln (vgl. Fig. 9). 

 Es ist, wie es sein muB: 



du_ 



ox 



= 0. 





Ist. die Bewegung stationar, so ist der Druck 



konstant auf Ellipsoiden: x 2 +y 2 +4 z 2 = const. 



b) Quellen und Senken. Dem Potential 



(* 



*= (r Entiernung von einem festen 



Punkte 0) entspricht ein Abstrumen von dem 

 Pnnkt 0, in der Richtung des Radius (oder ein 



n 



Zustromen) mit Geschwindigkeiten ,, wie 



es dem Entstehen oder Verschwinden von Fliissig- 

 keit im Punkte entspricht; die in der Zeiteinheit 

 entstehende oder verschwindende Fliissigkeits- 

 menge ist ; = 4 Tt c. Diese Losung ist sehr yiel- 

 seitig zu verwenden, auch da, wo es sich niclit, 

 wie bei der Bewegung um eine sich aufblahende 

 oder zusammenzienende Kugel (vgl. Ill sd), um 

 ein wirkliches Entstehen oder Verschwinden 

 von Volumen handelt. 



