ETiissigkeitsbewegung 



111 



Trennungsschichten, wo sie auftreten, sehr 

 schnell in einzelne unregelrniiBige Wirbel zer- 

 f alien. 



Fig. 23. 



3. Dynamik der Bewegung mit Drehung. 

 Der allgemeine Fall der Bewegung einer 

 reibungslosen Fliissigkeit, die Bewegung mit 

 Drehung, ist weit sehwieriger mathematisch 

 zu beherrschen, als der der drehungsfreien 

 Bewegung. Waren die wirldichen Fliissig- 

 keiten vollkommen reibungslos, so wiirde 

 seine Behandlung wenig Wichtigkeit haben, 

 da durch auBere Einwirkung auf die Fliissig- 

 keit niemals eine Drehung entstehen konnte. 

 FaBt man jedoch die Theorie der reibungs- 

 freien Fliissigkeit als eine - - in vielen Fallen 

 reeht brauchbare - Annaherung fiir wirk- 

 liche Fliissigkeitsbewegungen auf, so gewinnt 

 die Behandlung der drehenden Bewegung 

 groBe Bedeutung, um so mehr, als bereits 

 eine beliebig kleine Fliissigkeitsreibung ge- 

 niigt, im Laufe von einiger Zeit starke Dreh- 

 bewegungen in einer Fliissigkeit hervor- 

 zurufen (vgl. II, se). Die Theorie vermag 

 hier einige allgemeine Satze aufzustellen, 

 die zur qualitativen Beurteilung der Ver- 

 haltnisse sehr niitzlich sind; bis zu einer 

 quantitative!! Darstellung des einzelnen Vor- 

 ganges vermag sie nur in besonders einfachen 

 Fallen vordringen, so z. B. wenn sich nur 

 einzelne Wirbelfaden von einfacher geo- 

 metrischer Gestalt in einer sonst drehungs- 

 freien Fliissigkeit befinden. 



Vorangestellt werde ein Satz von 

 W. Thomson (Lord Kelvin): ,,Die Zirkti- 

 lation langs einer flussigen Linie ist in einer 

 reibungslosen Fliissigkeit zeitlich konstant." 

 Unter einer ,, flussigen Linie" ist dabei eine 

 Linie verstanden, die bestandig aus den- 

 selben Fliissigkeitsteilchen besteht. Der Satz, 

 der eine Folgerung der Eulerschen Glei- 

 chung ist, gibt zusammen mit den in I, 3 

 behandelten kinematischen Satzen iiber ,, Zir- 

 kulation" eine gute Anschauung von den 

 Vorgangen. Insbesondere folgen aus ihm 

 die beriihmten Satze von Helmholtz, die 

 dieser auf anderem Wege gewonnen hat. 

 Diese Satze lauten: 



1. Jedc Wirbellinie enthalt dauernd die- 

 selben Fl iissigkeitsteilchen. 



2. Die Wirbelstarke (I, 3) ist auf jedem 

 Wirbelfaden rilumlich und zeitlich konstant. 



Zum Beweisi' \vcndet man den Thorns on- 

 schen Satz auf kleine geschlossene Linien 

 an, die in einer Wirbelrohre (also in der 

 Wandung eines Wirbelfadens) verlaufen. Fiir 

 Linien, die den Wirbelfaden nicht umschlin- 

 gen, ist die Zirkulation gleich Null; daraus r 

 daB sie nach Thomson Null bleiben muB, 

 schliefit man, daB die Flussigkeitsteilchen 

 einer Wirbelrohre dauernd eine Wirbelrohre 

 bilden mussen (erster Satz). Daraus, daB 

 fiir Linien, die den Wirbelfaden umschlingen, 

 die Zirkulation konstant bleibt, folgt dann 

 der zweite Satz. Aus dem ersten Satze wird 

 entnoinmen, daB jedes Element eines Wirbel- 

 fadens sich so in der Fliissigkeit verschiebt; 

 als es die iibrige Fliissigkeitsbewegung fur 

 ein Teilchen am gleichen Orte vorschreibt; 

 aus dem zweiten folgt dabei. daB die Winkel- 

 geschwindigkeit der Drehung bei einer 

 Streckung oder Verkiirzung des Wirbel- 

 fadenelementes sich proportional mit seiner 

 Lange andert (die Lange und die Winkel- 

 geschwindigkeit sind beide umgekehrt pro- 

 portional dem Querschnitt). 



Beispiele: a) Fiir gerade und parallels 

 Wirbelfaden in einer sonst drehungsfreien 

 Fliissigkeit sind die Beziehungen besonders ein- 

 fach. JederFaden bewegt sich so, wie die iibrigen 

 es ihm vorschreiben. Jeder erteilt ihm eine 

 Geschwindigkeit umgekehrt proportional scinem 

 Abstande und senkrecht zur Verbindungslinie. 

 Bei z\vei parallelen Wirbelfaden ergibt sich ein 

 &eisen der beiden um diejenige Achse, in die- 

 die resultierende Kraft fallen wiirde, wenn in 

 den Wirbelachsen Kriifte proportional den 

 Wirbelstarken angebracht waren (gleich ge- 

 richtete Kriifte, wenn die Wirbel gleichsinnig T 

 und umgekehrt gerichtete, wenn die Wirbel von 

 ungleichem Drehsinn). Fiir zwei entgegengesetzt 

 umlaufende gleichstarke Wirbel (ein ,,Wirbel- 

 paar") ergibt sich ein geradliniges Fortwandern 



senkrecht zur Verbindungslinie mit der Ge- 



p 

 schwindigkeit . (d == Abstand der Wirbel- 



$ 



achsen). 



b) Bei kreisf ormigen 

 ,,Wirbelringen" ergibt 

 sich durch die Kriimmung 

 des Wirbelfadens ein schnel- 

 leres Fortschreiten als beim 

 Wirbelpaar, und zwar um 

 so schneller, je kleiner der 

 Durchmesser der mit Dre- 

 hung behat'teten ,,Wirbel- 

 seele" ist (die Geschwin- 



digkeit ist , (in 



2nd \ dj 4y 



wo d der Durchmesser des jrjg_ 24. 



Ringes nnd d l der der Seele 



ist. Zwei Wirbelringe mit 



gemeinsamer Achse , die sich im gleichen 



Sinn bewegen, wirken so aufeinander ein, daS 



