Fliissigkeitsbewegung 



117 



Erwahnung verdient die Stokossrhe Ldsung 

 fiir die Bewegung einer Kugel, die einen Wider- 

 stand 6 ?t ftVa ergibt, und die fiir die Fall- 

 bewegung kleiner Tropfchen von Bedeutung ist 

 (V : = Geschwindigkeit, a = ; Radius). 



Es ist hier der Widerstand gleich Gewicht 

 minus Auftrieb zu setzen, was eine Fallgeschwin- 



portionalitat der beiden Ausdriicke folgt, dali 



i = I 

 i \V r 



'' ' 

 w 



. Das Verhaltnis 4 ist dem- 



I 



I 



digkeit V= 



ga 2 ergibt. Die Formel 



gilt nur fiir R<vynoldssche Zahlen, die klein 

 gegen 1 sincl. (Fiir Wassertropfchen in Luft 

 ergibt sich V : 1,3. 10 6 a 2 , wobei a in cm ein- 

 zusetzen ist; die Formel ist giiltig fiir Tropfchen, 

 deren Radius kleiner als 1 / 59 mm ist.) 



5e)Der andereGrenzfallder sehrgroBen 

 Reynoldsschen Zahl oder der sehr 

 kleinen Reibung wiirde durch ein volliges 

 Zurucktreten des Reibungseinflusses gekenn- 1 

 zeichnet sein, also einfach die in II, i bis 3 

 behandelte Bewegung der reibungslosen ' 

 Fliissigkeit ergeben, wenn nicht die Bedingung 

 des Haftens an der Wand hinzukame, die 

 von der reibungsfreien Fliissigkeitsbewegung ; 

 nicht erfiillt werden kann. Eine nahere 

 Untersuchung zeigt nun, daB die wenig 

 reibende Fliissigkeit sich zwar da, wo keine 

 Wande sind, so gut wie eine reibungslose 

 Fliissigkeit verhalt, daB sich aber an den 

 Wanden unter dem EinfluB der Reibung 

 eine diinne ,,Grenzschicht" ansbildet, 

 in der die Geschwindigkeit von dem Wert, 

 der der reibungsfreien Bewegung entspricht, 

 auf denjenigen iibergeht, den das Haften 

 an der Wand erfordert. Je kleiner die 

 Reibung ist, desto diinner ist die Grenz- 

 schicht. 



Die quantitativen Verhaltnisse lassen sich 

 leicht durch die folgende Impulsbetrachtung 

 fiir die stationare Stromung entlang einer ebenen 

 Platte abschatzen. Die La'nge der Platte sei 1, 

 die Breite b, die Geschwindigkeit der Stromung 

 w, die ungefahre Dicke der Grenzschicht a 

 (Fig. 33), dann ist die sekundlich in die Grenz- 



nach ^ 1 , also eine reine Funktion 



I w 1 | R ' 



der Reynoldsschen Zahl. Diese Beziehung 

 gilt in gleicher Weise fiir alle stationaren Grenz- 

 schichten. Fiir Bewegungen, die zur Zeit t = 

 aus der Rnhe heraus beginnen, ist in der ersten 

 Zeit die Dicke der Grenzschicht gegeben durch 



Fig. 33. 



schicht geratene Masse ~(?.abw (das Zeichen - 

 bedeutet proportional); diese Masse, die rnit der 

 Geschwindigkeit w ankam, verliert in der Grenz- 

 schicht einen bestimmten Bruchteil davon; 

 der Inipuls, der dern entspricht, ist demnach 

 Q a b w a . Dem Impuls mufi gleich sein die 

 durch die Reibung an der Wand auf die Fliissig- 

 keit ausgeiibte Kraft. Nach Gleichung (9) kann 



diese gesetzt werden ^idb . Aus der Pro- 



a ~ h'.t. 



Die fiir die ganze Hydrodynainik funda- 

 mentale Bedeutung der Grenzschichten 

 liegt nun darin, daB sich unter bestimmten 

 Bedingungen Teile der Grenzschichten als 

 Trennungsschichten (vgl. I, 3 und II, 21.) 

 in die freie Fliissigkeit hinausschieben und 

 so zur Ablosung der Stromung von der 

 Wand und zur Erzeugung von Wirbeln 

 AnlaB geben. Eine notwendige Bedingung 

 fiir diesen ,,Ablosungsvorgang" ist nach 

 Prandtl, daB die freie Fliissigkeit langs 

 der Wand (fiir einen Beobachter, fiir den 

 die Wand in Ruhe ist) verzogert stromt. 

 Da diejenigen Ursachen, die die Verzogerung 

 der freien Fliissigkeit hervorrufen (Druck- 

 differenzen usw.), auch auf die Fliissigkeits- 

 teilchen in der Grenzschicht einwirken, die 

 durch die Reibungswirkung schon einen 

 Teil ihrer Geschwindigkeit eingebuBt 

 haben, so kommt es hier leicht zu einer 

 Bewegungsumkehr. Der so entstehende 

 Ruckstrom, der zwischen der Wand und der 

 Vorwartsstromung verlauft, erteilt durch 

 Reibungswirkung immer neuen Fliissigkeits- 

 massen eine Geschwindigkeitsverminderung, 

 so daB auch diese durch die bestehenden 

 Druckdifferenzen zur Umkehr gebracht 

 werden. Der Riickstrom nimmt auf diese 

 Weise rasch an Breite zu, und hebt nun die 

 Vorwartsstromung von der Wand ab. Ein 

 Teil des Grenzschichtmaterials wird dabei 

 von der auBeren Stromung als spiralig sich 

 aufwickelnde Trennungsschicht fortgefuhrt 

 und es wird so von der Grenzschicht aus- 

 gehend das ganze Stromungsbild umgewandelt 

 (vgl. Fig. 3436, die die Ablosungsbewegung 

 gut veranschaulichen). 



Die Vorgange in den Grenzschichten sind 

 reclined sch verfolgt word en. Die Ergebnisse 

 dieser Rechnungen stehen in vollem Einklang 

 mit den Beobachtungen. U. a. ergibt sich aus 

 der Redlining, daB die Ruckstromung in der 

 Grenzschicht unabhangig von der (sehr kleinen) 

 Reibung nach Zuriicklegung eines bestimmten 

 Weges beginnt. 



Von der Bewegung der Fliissigkeit mit 

 kleiner Reibung laBt sich demnach dieses 

 aussagen: Beginnt die Bewegung von der 

 Ruhe aus, so herrscht zunachst iiberall 

 mit Ausnahme diinner Schichten an den 

 festen Wanden Potentialbewegung. Sehr 



