Fourier - - Fouriersches Theorem 



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sich mit Begeisterung anschloB. Er erhielt den 

 Lehrstuhl fur Mathematik zu Auxerre und hatte 

 ihn bis 1794 inne. 3798 ging er mit Bonaparte 

 nach Aegypten und wurde Mitglied und Sekretar 

 dcs Institut de 1'lSgypte. 1802 bis 1815 war er 

 Prjifekt des Isere-Departements, 18] 7 Mitglied 

 des Instituts von Frankreich und nach Laplace s 

 Tod P'-Jisident der polytechnischen Schule. Er gab 

 1807 eine Erweiterung des Prinzips der virtu- 

 ellen Verriickungen, als Fouriersches Prinzip be- 

 kannt, 1822 die grundlegende Theorie der Warme- 

 leitung. Am bekanntesten ist er geworden (lurch 

 das Fouriersche Theorem, den Beweis, daB sich 

 jede periodische Funktion durch eine Reihe von 

 eini'achen harmonischen Funktionen (Sinus- 

 und Kosinusfunktionen) darstellcn lafit (siehe 

 den Artikel , ,F o u r i e r s c h e s T h e o r e in "). 



Litcratlir. F. Arago, Eloge historique de J. F. 

 Paris 1834- Ma-it get', Notice biographique 

 sur F. , I'annuaire de I' Yonne , 187S. V. 



Cousin, Notes biographiques sur F. Paris 1831. 



E. Drude. 



Fouriersches Theorem. 



1. Einleitung. 2. Periodische Funktion durch 

 Sinusfunktionen angenahert. 3. Annaherung 

 mit Hilfe aquidistanter Ordinaten. 4. Ab- 

 kiirzung des Verfahrens nach den auftretenden 

 Symmetrieen. 5. Beispiele von Zerlegungen. 

 6. Apparate und graphische Verfahren. 7. Das 

 Isolieren von Gliedern holier Ordnung. 8. Das 

 Fouriersche Theorem 1'iir eine aperiodische reelle 

 Funktion einer Veranderlichen. 



i. Einleitung. Vorgange, die sich 

 nach einer bestimmten Zeit fortgesetzt in 

 gleicher Weise wiederholen, wie z. B. die 

 Schwingung eines Pendels oder der oszilla- 

 torische Voigang in einer Wasserwelle 

 oder einer Schall- oder Lichtwelle oder in 

 einem Wechselstrom oder irgendeiner Er- 

 scheinung, die durch die Urndrehung oder 

 den Hin- und Hergang einer Maschine her- 

 vorgerufen wird, finden ihre mathematische 

 Darstellung durch eine ,,periodische" Funk- 

 tion. Das Fouriersche Theorem bezieht sich 

 auf die Mciglichkeit eine beliebige periodische 

 Funktion als eine Summe von speziellen 

 periodischen Funktionen, den Sinusfunktionen, 

 zusammenzusetzen. Der beliebige periodische 

 Vorgang wird dadurch aufgefaBt als eine 

 Superposition von besonders einfachen perio- 

 dischen Vorgangen. So stellt z. B. eine 

 sinusformige Schallwelle periodisch wieder- 

 holt einen reinen Ton ohne Obertone dar. 

 Das Fouriersche Theorem besagt hier, daB 

 ein reiner Ton von beliebiger Klangf ar be 

 durch eine sinusformige Schallwelle mit den 

 daruber gelagerten sinusformigen Schallwellen 

 der doppelten, 3-fachen, 4-faclien usw. Fre- 

 quenz dargestellt werden kann. 



2. Periodische Funktion durch Sinus- 

 funktionen angenahert. Unter einer 

 periodischen Funktion einer Veranderlichen 

 versteht der Mathematiker eine sole-he 

 Funktion, deren Werte ungeandert bleiben, 

 wenn man zu der Veranderlichen eine 

 Konstante hinzufiigt oder als Gleichung 

 geschrieben, wenn 



f (x + c) -- f(x) 



Es ergibt sich sogleich, daB auch die 

 Hinzufhgung eines beliebigen positiven oder 

 negativen Vielfachen von c die Werte nicht 

 andert 



f(xnc)-f(x) 



(n == gauze Zahl) 



Figur 1 veranschaulicht das durch 

 graphische Darstellung. 



x+c 



X+2C 



Fig. 1. 



Der kleinste positive Wert von c, der 

 dies leistet, heiBt die ,,Periode" der Funktion. 

 Alle iibrigen Werte sind ganze positive 

 oder negative Vielfache der Periode (ab- 

 gesehen von dem trivialen Fall, wo f (x) 

 iiberhaupt von x imabhangig ist). Die 

 graphische Darstellung der Funktion durch 

 eine Kurve, deren rechtwinkelige Koordi- 

 naten x, y durch die Gleichung y f (x) 

 zusammenhangen, besteht in einer beliebig 

 gestalteten Welle von der Abszissenbreite 

 der Periode, die sich nach rechts und links 

 beliebig oft wiederholt. Durch passende 

 Aenderung der Einheit, in der wir die 

 Abszisse messen, laBt sich bei einer ge- 

 gebenen Kurve erreichen, daB der Periode 

 die Zahl 2n entspricht. Dann ist also 



f(x+2rc)==f(x) 



und 2 n ist der kleinste positive Wert, fiir 

 den diese Gleichung erfiillt sein kann. 

 Urn fiir die Funktion f(x), die uns auch 

 graphisch gegeben sein kann, einen ana.ly- 

 tischen Ausdruck zu schaffen, der sie fiir afle 

 reellen Werte von x mit ausreichender 

 Genauigkeit zu ersetzen imstande ist, emp- 

 pfiehlt es sich eine Summe von Sinus- und 

 Cosinus-Funktionen von der folgenden Form 

 anzusetzen: 



a -(- a x cos x + a 2 cos 2x -f . . . -f a n cos nx 

 -f-'bi sin x -f- b 2 sin 2x-j- + b n sin nx 



und die Konstanten a , a x , b x ; a 2 , b 2 ; . . . 

 a n , b n so zu bestimmen, daB dieser analy 

 tische Ausdruck (er sei mit S n (x) bezeichnet) 

 in dem Intervall einer Periode z. B. von 

 x == bis x == 2n das Quadrat des ,,Fehlers" 



