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Fouriersches Theorem 



S n (x) f(x) im Durchschnitt moglichst klein 

 macht. Wir erhalten dann in einem gewissen 

 Sinne die beste Annaherung, die mit dieser 

 Zahl von Konstanten bei der vorgesetzten 

 Form moglich ist. Der Durchschnitt des 

 Quadrates der Differenz ist durch das 

 Integral : 



ausgedriickt oder auch 



+ 



1-dx 



Das erste dieser drei Integrale ver- 

 einfacht sich bei der Ausfiihrung. Es ist 

 nautili ch: 



J-T 



1 f 1 /" 1 /" 



I cos (Ax) cos (wxVlx = j- cos [(A -f /i)x]dx + -j- /cos [(A //)x]dx, 

 An f j *n fj l u 



cos ( / ax)dx = 



sin [(A + 



. sin [(A //)x]dx, 



in 2.-T 27i 



1 /* 1 /* 1 /* 



^ / sin (Ax) sin (^dx = ^ / cos [(A //)x]dx -- ^ | cos [(/+ ^)x]dx. 



Infolgedessen ergibt sich, daB die Inte- Der Mittelwert des Fehlerquadrats wird 

 grale der linken Seite dieser drei Gleichungen daher 

 verschwinden, sobald A und JLI von einander 

 verschieden sind, daB dagegen fiir A == ]a 

 die linke Seite der zweiten Gleichung zwar 

 auch verschwindet, die der ersten und 

 dritten aber den Wert l / 2 annehmen. Daraus 

 folgt dann, daB 



1 fl a/ 2 



q I S n (x)ax cos (Ax)dx = -^ 







fiir A= 1, 2, ... n, 



>TT 



~ f S n (x)b,sin(Ax)dx= -4- 



671 fj 

 o 



fiir },=-- 1, 2, ... n, 

 wahrend, wie unmittelbar einzusehen. 



9- I S n (x)a dx== a (1 2 . 



-^71 fj 



Damit ergibt sich der Mittelwert von 



2n 



2n 



~ 2~ / ^ n ( 



cos x 



+ a n cos (nx) + b n sin (nx)]dx 

 a^+b, 2 a 2 2 +b 2 2 

 a 2 2 



+ ...+ an - 



2 

 + a 2 



2 



n I ~fi 

 - S a;. - / 

 fc=o ^J 



f(x) cos (Ax)dx 



271 



- S b/. - ff(x) sin (Ax)dx+ / f[f(x)J 2 dx 



i-\ n (} ^fJ 



o o 



und hangt so fur eine gegebene Funktion 

 f(x) in sehr einfacher Weise von den Koeffi- 

 zienten a , a l5 b l . . . a n , b n ab. Jetzt ist es 

 leicht, anzugeben, \Yelche Werte diese Koeffi- 

 zienten erhalten miissen, damit der Mittel- 

 wert des Fehlerquadrats so klein wie moglich 

 wird. 



Denn setzen wir der Kiirze halber 



(x) cos (Ax)dx= Ax, 



271 



r 



A = 1 n) 



wo also A den Mittelwert von f(x) und 

 A/, B/ die Mittelwerte von 2f(x) cos (Ax), 



