Fouriersches Theorem 



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2f(x) sin (Ax) bedeuten, so kann man den , daB der kleinste Wert, den der Mittelwert 

 Mittelwert des Fehlerquadrats schreiben annehmen kann, gleich 



n 



2 I V 



do ~T 2j 



/. 1 



- 2a A S 

 /. 1 



Zit. 



oder 



nnd aus dieser Form erhellt unmittelbar, 



2-T 



ist und daB dieser Wert dann und nur dann 

 angenommen wird, wenn 



a = A , a;. == A;., b/ == B/. (A== 1, 2, . . .n). 

 Sobald die Koeffizienten a, b mit diesen 

 allein durch die gegebene Fnnktion f(x) 

 bestimmten Werten nicht samtlich iiberein- 

 stimmen, so ist der Mittelwert des Fehler- 

 quadrats notwendig groBer, und zwar um den 

 Betrag 

 ( , A y, , v (m-Ajp + fltt-BQ' 



( a o AQ) -p ' o 



;.=i 



Fiir eine gegebene Ftinktion f(x) er- 

 lialten wir somit den Naherungsausdruck 



Zn 



S n (x) = g I f(x)dx-f / f(x) cos (x)dx . cos x + . . . -f- / f(x) cos (nx)dx. cos nx 







2.T 



1 p If 



-\- I f (x) sin (x)dx . sin x + . . . + f f(x) sin (nx)dx. sin nx x ) 

 n f) 7i fj 



und dieser Narierungsausdruck ist in dem 

 oben angegebenen Sinne der beste, der sich 

 mit den vorgegebenen Sinus- und Cosinus- 

 gliedern erreichen laBt. Nimmt man weitere 

 Sinus- und Cosinusglieder fiir groBere Werte 

 von n hinzu, so andern sich die schon be- 

 rechneten Glieder des Naherungsausdruckes 

 nicht, sondern es treten nur noch weitere 

 Glieder hinzu. In dem Ausdruck fiir 

 den Mittelwert des Fehlerquadrats konnen 

 dann nur negative Terme hinzutreten, d. h. 

 der Mittelwert des Fehlerquadrats inuB 

 dadurch kleiner werden. 



Bei alien fiir die physikalische Forschung 

 in Betracht kommenden Funktionen laBt 

 sich zeigen, daB der Mittelwert des Fehler- 

 quadrats beliebig klein wird, wenn man n 

 hinreichend groB nimmt. Vor allein gilt 

 das ftir alle stetigen Funktionen und fiir alle 

 Funktionen, die innerhalb einer Periode aus 

 einer endlichen Anzahl von Stiicken stetiger 

 Funktionen bestehen. Wenn bei dieser Be- 

 schaffenheit von f(x) die unendliche Reihe 



t cos x -f- Ao cos (2x) + . . . 

 -- B x sin x -f B 2 sin (2x) -)- 

 (A , A j, B!? ... in der oben angegebenen 

 Bedeutung) in einem Intervall gleichmiiBig 

 konvergiert, so wird sie dort mit der Funktion 



1 ) Jedes der Integrale kann ai;ch statt von 

 bis 2n von bis + n oder von x bis x + ^ 

 integriert werden. Das andert nichts an ihren 

 Werten. 



f(x) ubereinstimmen. Denn unter diesen 

 Umstanden muB der Mittelwert des Fehler- 

 quadrats fiir die unendliche Reihe Null sein 

 und folglich kann der Fehler selbst nur an 

 solchen Stellen von Null verschieden sein, 

 wo er unstetig ist. Wenn eine stetige Funktion 

 f (x) innerhalb ihrer Periode nur eine endliche 

 Anzahl Maxima und Minima besitzt, so laBt 

 sich ebenfalls zeigen, daB die unendliche 

 Reihe den Wert der Funktion f(x) fiir alle 

 Werte von x besitzt, fiir die f(x) nicht 

 unstetig ist. Die unendliche Reihe wird die 

 Fouriersche Reihenentwickelung genannt. 

 Ist die Funktion f(x) durch einen analy- 

 tischen Ausdruck oder stiickweise durch 

 analytische Ausdriicke gegeben, so lassen 

 sich die Koeffizienten auf analytischem Wege 

 berechnen. Handelt es sich dagegen um 

 eine empirische Funktion, so ist das nicht 

 moglich. Man wendet dann je nach der Form, 

 in der die empirische Funktion vorliegt, 

 verschiedene Methoden an. 



3. Annaherung mit Hilfe aquidistanter 

 Ordinaten. Es sei f(x) dadurch gegeben, 

 daB ihre Werte an m gleichweit voneinander 

 entfernten Teilpunkten der Periode also 

 etwa fiir 



,,= v 



m 



(j'=0, 1, 2 ... m 1) 



gemessen seien. Die Werte mb'gen mit 



y,, 



