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Fouiiersclies Theorem 



bezeichnet werden. Wir suchen einen Aus- 

 druck 



S n (x)= a -j- a 1 cosx+ a 2 cos2x+ . . a n cos(nx) 

 4-b 1 sinx+b a sin2x-[-. . b n sin(nx) 



zu bilden, der die Funktion an den gemessenen 

 Stellen moglichst gut darstellen soil. Dabei 

 darf die Zahl der Koeffizienten a/, b/. nicht 

 groBer sein als die Zahl der gemessenen 

 Ordinaten, weil sie sonst unbestimmt werden. 

 Wir wollen ihre Zahl kleiner als die Anzahl 

 der gemessenen Ordinaten setzen. 



Der Fehler des Naherungsausdrucks S n (x) 

 ist an der Stelle x, gleich 

 Sn(x,.)--y,.. 



Wir suchen nun die Koeffizienten a, b 

 so zu bestimmen, daB der Mittelwert des 

 Fehlerquadrats 



i ini i ini 



V (V, (v \ v \2 V ('Q l\ Y\2 



~j \un\A-r) jrj - ^J ^m- x i /) 



m 1=0 m v=0 



9 m l i ini 



S S n (x,.)y,.+ S y, 2 

 m , o m v=0 



moglichst klein wird. Der leitende Geclanke 

 ist also derselbe wie oben, nur daB an Stelle 

 des Integrals eine Summe tritt entsprechend 

 der beschrankten Anzahl der vorliegenden 

 Messungen. Aehnlich wie oben finden, 

 wir nun 



^1 i C* / \". *> 



m r^,, 



+ ^+v + ...+ an "t 3l " 2 



li *-J 



und wenn wir analog den friiheren Be- 

 zeichnungen 



i ini 2 111 ~" 1 



S y,.= A , S v, cos(/x,.)== A,. 

 m r=0 m ,. =0 ~ 



2 m-1 



2 v, sin (Ax,.) = B, 

 m 1=0 ' 



(A==l, 2, ... 11) 



setzen, so wircl 

 1 m S 1 [S n (x,.)-y,.] = a 2 + S a i 2 + 



m r=o ' 1 



11 -1 1111 



-2a A S (a/A;.+ b;.B;.)+ Sy 



ni r= o 



/ 1 

 11 \ .2 _l_ "R- 2 1 1111 



_A 2 T. ' v v 2 



A ~ ~ 



;. i 



~ 



m r 



Daraus ergibt sich ganz ahnlich wie 

 oben, daB fiir gegebene Werte von y, der 

 kleinste Mittelwert des Fehlerquadrats dann 

 und nur dann herauskommt, wenn 



'o == A , a/ == A;., b/. == B/." 



gesetzt wird. 



Dieser kleinste Wert ist gleich 



1 m ~l n A 2 ! R . 2 



V y ,2 A 2 - ^ 



111 v^o * /=l 



Nimint man in dem Naherungswert 

 weitere Glieder hinzu. so andern sich die 

 schon berechneten Werte A, B nicht, sofern 

 die Zahl der Koeffizienten kleiner bleibt 

 als die der beobachteten Ordinaten. Fiir 

 die Durchfiihrung der Rechnung ist es am 

 zweckmitBigsten, m durch 4 teilbar anzu- 

 nehmen, damit die auftretenden numerischen 

 Werte von sin (Ax v ) und cos (Ax,) sich mog- 

 lichst wiederholen. Auch wollen wir die 

 Zahl der Koeffizienten gleich der der Ordi- 

 naten machen, n = 9 annehmen und fiir 

 S n (x) den Ausdruck betrachten 



Sn(x) = a -(- a x cos (x) + . . . 



+ au_] cos ((n l)x) -f- a n cos (nx) 



+ b x sin (x) + . . .+ b n -i sin ((n l)x). 



Wir konnen dann den Fehler von S n (x) 

 an alien in Teilpunkten zum Verschwinden 

 bringen. Die Werte der Koeffizienten 

 finden wir wie oben. Es ergibt sich 



i in i 

 m ,."^o 



n i -T 2 If " ivi 2 

 S ^~ 

 r i c 



und daraus folgt, daB alle Fehler Null 

 werden fiir 



i ini ^ m 1 



B O = - - y,., a n = z (l) v jv, 



m r-o " 



a/. = ' S 

 m ,o 



2 in i 

 b;. = S sin(Ax v ); 



m , 1 



Es ist dann 

 1 "Ir 1 



m r=0 



/=! 



LiiBt man in dem Ausdruck fiir S n (x) 

 irgendwelche Glieder weg, so behalten die 

 iibrig bleibenden immer die Eigenschaft, 

 das mittlere Fehlerquadrat so klein zu 

 machen, wie es ohne Hinzuziehung anderer 

 Glieder moglich ist. Um die Koeffizienten 

 a, b zu berechnen, faBt man zweckma'Big 

 die Glieder zusammen, die mit denselben 

 numerischen Werten der Grb'Ben cos (Ax,.) 

 und sin (Ax, ) multipliziert sind. Zu dem 

 Ende schreibt man die m == 2n gemessenen 

 Ordinaten in zwei Zeilen so 



>'o Yi 



7s 



V 111-1 ym-iVm-S . . . Vn-l 



und bildet von den untereinander stehenden 

 GroBen die Snmmen und die Differenzen: 



