Fouriersch.es Theorem 



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lljtUjUg ... U n _iU n 

 v i V 2 V 3 v n i 



WO 



llo = Yo, Un = Yn, U,-= }', + V m -.', 



v,.= yi Ym-.. 

 Daniit erhalten wir 



ma = 2j u, , ma n = -^ ( 1)' u, ; 



i i 1 r=o 



n n l 



na;.= 2 cos (Ax,,)u,., 11!^.= S sin(2x,)v,. 



Es offenbart sich hier eine Symmetric, 

 insofern als die GroBen u,,, v, in ganz 

 analoger Weise durch die Koeffizienten a, b 

 ausgedruckt werden konnen: 



n n 



v "v / -t ', 



UQ - : ' a /i? u n = : _i ( ij'-a/, 



;.=o / = o 



n n l 



iu,, = : H cos(Ax r )a; L , ^y,- 2 sin(Ax v )bA. 



;.-^o /. i 



Mit anderen Worten, wenn man in den 

 Summen, durch die die Werte u , u n ; ^u, , 

 i-v, (und daniit indirekt auch die Werte 



y = u , Vn == u n ; y.'= 

 u, v,. 



aus den Koeffizienten a, b berechnet 

 werden, an Stelle von a , a n ; a;., b/ die 

 Werte u , u n ; u/., v/ einsetzt, so liefern sie 

 die Werte ma , ma n ; na;., nb/.. Genau 

 dieselbe Operation, dieGlieder einerFourier- 

 schen Reihe zu summieren (die Cosinus- 

 glieder fiir sich und die Sinusgiieder fiir sich), 

 liefert auch die Koeffizienten; die Synthese 

 ist zugleich die Analyse. 



Die Berechnung wird durch weiteres 

 Zusammenfassen erleichtert, in dem man die 

 GroBen u und v je in zwei Zeilen schreibt 

 und wieder die Summen und Differenzen 

 der untereinander stehenden GroBen bildet: 



U Uj U 2 ... U s _i U s 



u n Un i n n _o . . . u s +i 



S 1 S + v 



na/. = S cos(Ax v )u' r , nb/. = : S sin(7x r )t>, 



r=o T'=l 



fiir ungerade Werte von L 



Eine weitere Vereinfachung der Rechnung 

 besteht darin, daB man su und a n /., 

 ebenso b/ und b n -;. gleichzeitig ins Auge 

 faBt. Es ergibt sich namlich fiir gerades 

 oder nngerades A: 



oder 



und 



oder 



na n -;. = 2 ( I) 1 ' cos (/x v )u, 



r=o 



s t 



na n /. = : 2 ( 1)' cos (/lx,.)u', 



V=0 



s 1 



nb n _/.= S ( 



Hat man z. B. nicht mehr als 12 Ordi- 

 naten gemessen, so ist m==12, n == 6, 

 s = 3. 



Die Werte von cos (/lx r ) und sin(^x, ) sind 

 dann nur i sin 30, sin 60, 1, wodurch 

 es gelingt, die Rechnung auf ein einfaches 

 Schema zu bringen, mit Hilfe dessen sich 

 die Koeffizienten aus den gegebenen 1 2 Ordi- 

 naten in kurzer Zeit ermitteln lassen. 1 ) 



4. Abkiirzung des Verfahrens nach 

 den auftretenden Symmetrien. Eine iihn- 

 liche Zusammenfassung wird iibrigens zweck- 

 maBig auch in dem Falle angewandt, wo 

 die Ftinktion analytisch gegeben ist und 

 die Koeffizienten durch Integrate dargestellt 

 werden. Ist f(x) die gegebene periodische 

 Funktion, so sei 



<p(x) = f (x) + f(27r-x) = f(x) + f (-x) 

 y(x) == f(x)-f(27r-x) = f(x) - f(-x). 



Dann ist 



Summen: H O u-i u 2 . . . u^_i it s 

 Differenzen: u' u\ u' 2 . . . u' s i 



Vj V 2 . . . V s -t V s 

 Vn.tVu-a V s +l 



Summen: ^ o. 2 Os i t 1 . 

 Differenzen: b'j b' 2 t)'s i 

 (s=n/2=m/4) 



Dann ist: 



s s 



ma = : 2 it,, ma n = : H ( l) r u,; 



v=0 1=0 



s s-l 



na;. = S COS(AX,)U,, nb/. = : 2 sin (/x,.)b',. 



,=u v=l 



fiir gerade Werte von ). und 



Handworterbuch der Naturwissenschaften. Band IV 



a 



jt- jt. 



o = 2;" I 9?( x )dx, a/ == / ^(x) cos (/x)dx 







1 fl 

 b;. = - I ^'(x) sin (/x)dx. 



TTj/ 



Und wenn weiter 



9i( x ) == 9?( x ) + <p(^ x ) 

 9? 2 (x) == (p(x) 99(77; x) 



Vi( x ) == y( x )+ V(^ x) 

 V2( x ) =r ^(x)--^ x) 

 gesetzt wird, so ergibt sich: 



*) Wegen des Schemas vgl. C. Runge ,,The- 

 orie und Praxis der Reihen", 8, Leipzig 1904, 

 S. 153. Fenier C. Runge, INachrichten der K. 

 Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen, 

 1908, \vo der Fall von 24 Ordinaten auf den von 

 12 zuriickgefiihrt wird. 



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