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Fouriersch.es Theorem 



a = 



Till ,7/2 



1 f 1 /* 



= ^ I ^ 1 (x)dx, a/. = I 99 1 (x)cos(;.x)d: 



und 



b/ ' : = ^Jv2(x)sin(Ax)ax 



(fiir gerades /) 



,7/2 



a;. = / Q9 2 (x) cos (Ax)dx, 

 nj v< 



7T/2 



b '-"-"~ / ^(x) sin (/x)dx 



(fiir linger ades >!). 



Bei einer ,,geraden Funktion" (f(x) f( x)) 

 ist 9>(x)==2f(x) und y(x) == 0, folglich: 



n 



b;. =o, a = / f(x)dx, 



TtJ 

 o 



2 P 



I f(x) cos (Ax)dx, 

 rr ,./ 



a/. = - 



bei einer, ,ungeradenFimktion"(f(x)= f( x), 

 ist <p(x) == und ?/;(x) == 2f(x) folglich: 



2 / 

 a = a/ = o, b/ = / f(x) sin (Ax)dx. 



71 {/ 



o 



In beiden Fallen brauchen wir also nur 

 iiber die halbe Periode zu integrieren, und 

 die Fouriersche Reihe besteht bei der 

 geraden Funktion nur ans Cosinusgliedern, 

 bei der nngeraden nur aus Sinusgliedern. 

 Und umgekehrt, wenn die Fouriersche 

 Reihe nur aus Cosinusgliedern besteht, so 

 ist die dargestellte Funktion ,.gerade" 

 (f(x) == f( x)), wenn sie nur aus Sinus- 

 gliedern besteht, so ist sie ,,ungerade" 

 (f(x) = - f( x)). Wenn f(x) so beschaffen 

 ist, daB f(x) == i(n x), so haben q>(x) und 

 y(x) dieselbe Eigenschaft. Folglich ver- 

 schwinden dann 9 1 2 (x) unc l ^2( x ) llnc ' ' n ^ er 

 l-'inirierschen Reihe fehlen demnach die 

 Cdsitiusglieder mit ungeradem und die Sinus- 

 glieder mit geradcm Index. 



Ist andererseits f(x) = - i(n x), so 

 verschwinden cp j(x) und i^i(x), und in der 

 Fourierschen Reihe fehlen infolgedesscn 

 die Cosinusglieder mit geradeni 1 und die 

 Sinusglieder mit ungeradem L Es konnen 

 auch gleichzeitig eine der beiden Be- 

 dingungen f(x) = ^ f( x) und eine der 

 beiden Bedingungen f(x) = l(n x) er- 

 fiillt sein. Dann besteht die Fouriersche 

 Reihe entweder nur aus Cosinusgliedern 

 oder nur aus Sinusgliedern und gleichzeitig 



sincl nur Glieder mit geradem oder nur 

 Glieder mit ungeradem Index vertreten. 

 In diesen Fallen braucht man nur iiber den 

 vierten Teil der Periode zu integrieren. 

 Z. B. wenn f(x) = -f(2,T x) und gleich- 

 zeitig f(x) == i(n x), so ist q?(x) == o, 

 ^(x)-2f(x), ^ 2 (x) == o, Vl (x) = 4f(x); 

 mithin: 



a = a/. = o, b;. == o (fiir gerades /) 



7l/i 



4 P 



b/ = - ~ I f( x ) sin (/xjdx (fiir ungerades /). 



o 



5. Beispiele von Zerlegungen. Soil 

 z. B. f(x) von o bis n einen konstanten 

 Wert h; von .T bis 2.T den entgegengesetzten 

 Wert --h haben (Fig. 2), so ergibt sich fiir 

 ungerades ),: 



23T 



Fig. 2. 



n/2. 



4 P 

 b/ == I h sin (Ax)dx 



4h 



71 



71/2 



cos /x I 4h 1 



71 '/. 



Die Fouriersche Reihe ist daher: 



f( X ): 



4h 



sin (3x) sin (5x) 

 smx+ -V K.. 



Bricht man die Reihe bei irgendeinem 

 Gliede, z. B. hinter - .. ' ab, so wird das 



mittlere Fehlerquadrat, wie oben gezeigt, 

 gleich: 



/o 

 i _ 

 -" I 1 rf 



1 



_ 



121 



= h 2 . 0,0337. 



Das mittlere Fehlerquadrat wird beliebig 

 klein, wenn man hinreichend viele Glieder 

 der Reihe zuliiBt, wie sich auch direkt 

 zeigen liiBt, da: 



11 rr 2 



"9~'~25 "8~* 



Das mittlere Fehlerquadrat, das man beim 



