Ft mriersches Theorem 



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sin(2n l)x 



Abbrechen hinter erhalt, lafot 



2n 1 



sich daher auch in der Form schreiben: 

 h 2 .8 



~~r /o., , o\a ~r 



(2n 



I) 2 



2n 



(2n + 3) 2 

 1 oT^ T o ~ 



+ ... 



V2n 

 h 2 2 



2n 



Obgleich das mittlere Fehlerquadrat 

 beliebig klein wird, so ist dennoch der Fehler 

 selbst, auch wenn man beliebig viele Glieder 

 nimmt, nicht iiberall beliebig klein. Viel- 

 mehr bleiben in der Nahe der Sprungstellen 

 x == o, n, 2n Abweichungen der Naherungs- 

 kurve iibrig, die init wachsender Gliederzahl 

 nicht beliebig klein werden, sondern sich 

 nnr immer enger an die Sprungstelle heran- 

 ziehen, so daB sie auf das mittlere Fehler- 

 quadrat immer weniger EinfluB gewinnen. 



Dasselbe gilt von jeder Sprungstelle einer 

 periodischen Fnnktion. Wenn auch der 

 Mittelwert des Fehlerquadrats bei einer 

 hinreichenden Zahl von Gliedern der Fonrier- 

 sclien Reihe beliebig klein wird, so wird 

 doch das Maximum des Fehlers selbst in 

 der Nahe einer Sprungstelle nicht beliebig 

 klein, wie viele Glieder man auch hinzu- 

 nehmen mag. 



Setzt man in die Fouriersche Reihe den 

 Wert der Veranderlichen ein, wo der Sprung 

 eintritt, so ergibt die Fouriersche Reihe 

 das arithmetische Mittel der beiden Werte, 

 zwischen denen der Sprung stattfindet. 



2. Beispiel. i'(x) moge von x == o bis 

 x == < n und von x == 2n-- & bis 2yr 

 den Wert h haben, wahrend es fiir alle 

 anderen Werte von x verschwindet (Fig. 3). 



Hier haben wir y>(x) = f(x) f(2jr x) = o, 

 und fiir x=o bis e, <p(x) = f(x) + f(2jr x) 

 = 2h, dagegen fiir x = e bis n cp (x) = o. 

 Mi thin wird: 



he 2h 2h sin (Ae) 



t, ^ 2h 

 f(x)= 



.T 



^ + sin cos x + 

 sin (3e) 



sin (2 e ) 



cos (2x) 



Das mittlere Fehlerquadrat der Naherung, 

 die man erhalt, wenn man hinter dem Gliede 



2hsin(ne) 



cos (nx) abbricht, ist gleich: 



76 



n 



Il 2 



71 



2h 2 



+ sin 2 e + 



sin 2 (2 e ) 



sin 2 (3e) 



Q2 i ~r 



2 2 

 sin 2 (ne) 



3 2 n a 



Fiir die unendliche Reihe wird das mittlere 

 Fehlerquadrat gleich Null. Folglich kann es 

 fiir den Naherungswert auch in die Form 

 gebracht werden: 

 sin 2 (n - 



(n + I) 2 



sin 2 (n+2) g 



/ I O\0 



2h 2 



(n + 2)' 



n 



1 

 2- 



3. Beispiel. f(x) == x fiir x == o bis n 

 und f(27t x) ==f(x) (Fig. 4). Damit ist: 



n 



71 2 P 



a =i-p,aA= ; I xcos(Ax)dx 



^ Tt- tj 



b;. = o. 



2JT 



Fig. 4. 



Nun ist 



n 



/ix sin (Ax)i /'sin (Ax) , 

 x cos (Ax)dx = -jp I - ; dx 



O O 



cos (Ax) 



A 2 



folglich: 



n 



cos (3x) 





cos (5x) 



5 2 





Mittlerer Fehler, wenn man hinter 

 4 cos (2n l)x 



abbricht: 

 8 



n "(2n I) 2 



-^ + 1 - + 1 

 (2n+l) 4 (2n+3) 4 ^ 



8 1 

 ' 37i a '(2n) 3< 



6. Apparate und graphische Ver- 

 fahren. Zur Berechnung der Koeffizienten 

 der Fourierschen Reihe kann man sich an 



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