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Fouriersch.es Theorem 



Stelle der Kechnung aueh mathematischer 

 Apparate bedienen oder man kann die 

 Summationen oder Integrationen auf graphi- 

 schem Wege ausfiihren. Viele der zu diesem 

 Zwecke erfundenen Apparate haben heute 

 nicht viel mehr als fiistorisches Interesse, 

 well sie von den neueren iiberholt siud. 

 Integrationen fiihren aus die Apparate von 

 W. Thomson (1876) 1 ), Sharp und Henrici 

 (1894) 2 ), Yule (1895) 3 ), le Conte (1898) 4 ), 

 Mader (1909) 5 ). Dagegen beruht der 

 Analysator von Michelson und Stratton 6 ) 

 auf der Summation einer diskreten Anzahl 

 von Terinen, die den aquidistant liber die 

 Periode verteilten Ordinaten der zu analy- 

 sierenden Kurve entsprechen. Der Apparat 

 zeichnet einmal, wenn die Koeffizienten 

 der Fourierschen Reihe gegeben sind, 

 die Kurve, deren Ordinaten die Werte der 

 Fourierschen Reihe als Funktion der 

 Veranderlichen darstellen, andererseits, wenn 

 die Werte der Fourierschen Reihe gegeben 

 sind, die Kurve, deren Ordinaten in den 

 aquidistanten Teilpunkten der Periode die 

 Koeffizienten als Funktion ihres Index 

 darstellen. 



Die graphische Ermittelung der Integrale 

 von der Form 



Punkte markiert, wo t vorgeschriebene 

 Werte hat, z. B. t == 0; 0, 1; 0,2; . . . 

 i 1. Die zu diesen Punkten gehorigen 

 Ordinaten der urspriinglichen Kurve y == f(x) 

 sind dann neu zu ordnen entsprechend dem 

 zugehb'rigen Wert von t, so daB t zur Ab- 

 szisse wird. Es kommt auf dasselbe hinaus, 

 als hatte man die Kurve y = = f(x) um einen 



2ji 

 Kreiszylinder vom Umfang ----- gewickelt, 



so daB die x-Achse von x -= o bis x 2yr 

 Amal um den Zylinder herumlauft, und 

 hatte die so aufgerollte Kurve senkrecht 

 auf eine der Zyh'nderachse parallele Ebene 

 projiziert. 1 ) 



Die Summen z. B. 



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2.T 



/ f(x) cos (Ax)dx oder / f(x) sin (Ax)dx 



O 



geschieht am besten, indera man eine neue 

 Veranderliche einfiihrt und z. B. 



also 



t = sin(Ax) 



dt == A cos (Ax)dx 



setzt. f(x) geht bei Einfiihrung der neuen 

 Veranderlichen in eine Funktion F(t) von t 

 iiber und das Integral wircl 



Beim Durchlaufen des Intervalls x = o 

 bis 2n lauft die neue Veranderliche Amal 

 von o iiber + 1 zuriick zu--l und wieder 

 zu o. Stellt man F(t) durch die Ordinate 

 einer Kurve dar zur Abszisse t, so bedeutet 



F(t)dt 



die von der Kurve umkreiste Flache. Diese 

 Kurve wird aus der Kurve y = = f (x) dadurch 

 gewonnen, daB man auf der x-Achse die 



J ) W. Thomson, Proc. of the Royal Soc. 

 London 1876, 1878. 



2 ) Sharp und Henrici, Phil. Mag. 1894. 



3 ) Yule, Phil. Mag. 1895. 



4 ) Le Conte, Phys. Review 1898. 



5 ) Mader, Elektrotechn. Zeitschr. 1909. 



6 ) Michelson und Stratton, Amer. Journ. 

 of Science 1898. 



konnen graphisch durch die Endordinate 

 einer gebrochenen Linie ermittelt werden. 

 Man triigt dazu die Langen y, hintereinander 

 auf der Abszissenachse ab. Die gebrochene 

 Linie beginnt bei Null und hat ihre Ecken 

 iiber den Stellen, wo die Strecken y, an- 

 einander stoBen. Die Neigung der Seite 

 der gebrochenen Linie, die iiber y, liegt, 

 wird so bestimmt, daB die Tangente des 

 Winkels, den sie mit der x-Achse macht, 

 gleich cos (Ax,.) 1st. Die gebrochene Linie 

 laBt sich sehr schnell zeichnen, wenn man 

 sich eines von v. S a n d e n 2 ) ange- 

 gebenen Instruments bedient. Es besteht 

 aus einem Hartgummipolygon, dessen Seiten 

 die verschiedenen den Wert en cos (Ax,) ent- 

 sprechenden Richtungen angibt. wenn man 

 eine Seite die Richtung der x-Achse an- 

 nehmen liiBt. Man fiihrt die Hartgummiplatte 

 langs der ReiBschiene und kann so die 

 einzelnen Seiten der gebrochenen Linie 

 ziehen. 



7. Das Isolieren von Gliedern hoher 

 Ordnung. Hat man eine Funktion in eine 

 Fouriersche Reihe entwickelt: 



f (x) == a + a! cos x -f- a 2 cos (2x) -f . . . 

 -f- b x sin x -f- b 2 sin (2x) + . . . 



so kann man in einfacher Weise die Summe 

 der Glieder aussondern, deren Ordnungszahl 

 die Vielfachen einer ganzen Zahl sind. Um 

 z. B. die Glieder: 



a -f a 3 cos (3x) -f a 6 cos (6x) 

 -j- b s sin (3x) + b 6 sin (6x) 



zu erhalten, hat man nur notig, das arithme- 

 tische Mittel der drei Werte: 



!) Clifford, Lond. Math. Proc. 5 (1873), 

 p. 11: Finsterwalder , Harmonische Analyse 

 Zeitschr. f. Math, und Physik, Bd. 43 (1898) 

 p. 85. 



2 ) v. Sanden, Zeitschrift fiir Mathematik 

 und Physik, Bd. 61, 1912. 



