Founersch.es Theorem 



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f(x), 



zu bilden. In der Sumnie heben sich alle 

 Glieder weg mit Ausnahme derer, deren 

 Ordnungszahl dnrch 3 teilbar ist. Denn 

 es 1st: 



cos (Ax) + cos (Ax + A 3 ) + cos (Ax -f 2A -g-) 

 und 



7, (sin (Ax) -j- sin (Ax + A ^-) + sin r Ax + 2A -g-)j 

 o y <j o / 



gleich Null, wenn A nicht dnrch 3 teilbar 

 ist,und gleich 1, wenn es teilbar ist. Man sieht 

 dies am besten ein, wenn man cos (Ax), 

 sin(Ax) als die Komponenten einer Kraft 

 auffaBt, die am Nullpunkt angreift, und 



/i i 27E \ /i ^ n \ 

 ebenso cos l/x + x-o-J, sml/x + A-g- und 



\ A i \ * / 



cos Ax + 2A o I, sin (Ax+2A^-). Die drei 



\ $ / \ & I 



Krafte sind gleiehgroB und symmetrisch 

 um den Nullpunkt verteilt; sie halten sich 

 infolgedessen im Gleichgewicht. 



Will man ein einzelnes Glied a n cos(nx) 

 + b n sin (nx) einigermaBen holier Ordnung 

 untersuchen, so kann man auf diese Weise 

 eine Funktion bilden, deren Fouriersche 

 Entwickelung mit diesem Gliede anfangt. 



Ihre Periode ist - - und fiir sie spielt also das 

 n 



betreffende Glied dieselbe Rolle wie das 

 Glied erster Ordnung fiir die Funktion mit 

 der Periode 2n. Wenn nun die Koeffizienten 

 a n b n mit wachsendem n hinreichend stark 

 abnehmen, so wird das nachste Glied 

 a 2T1 cos (2nx) + b 211 sin (2nx), besonders wenn 

 n eine groBere Zahl ist, gegen a n cos (nx) 

 + b n sin (nx) nicht mehr in Eetracht kommen, 

 ebensowenig wie die darauf folgenden 

 Gheder, und denmach kann die Funktion 



nach Abzug der Konstante a als eine 

 Annaherung an das Glied nter Ordnung 



a n cos (nx) + b n sin (nx) 

 betrachtet werden. Um die Funktion durch 

 eine Kurve darzustellen, wiirde man gra- 

 phisch so verfahren, daB man die Periode 

 der Kurve y = = f(x) in n-Teile teilt und auf 

 Pauspapier die n-Teile der Kurve iiber 

 demselben Abszissenabschnitt zeichnet. Fiir 

 jede Abszisse dieses Abschnitts erhalt man 

 auf diese Weise n-Kurvenpunkte. Der 

 Schwerpunkt dieser n-Punkte beschreibt 

 die gesuchte Kurve, wenn die Abszisse den 

 Abschnitt durchlauft. 



8. Das Fouriersche Theorem fiir 

 eine aperiodische reelle Funktion einer 

 Veranderlichen. Es sei $(t) eine Funk- 

 tion von t, die fiir t = bis t = 



definiert ist, ohne eine Periode zu be- 

 sitzen. Wir leiten aus ihr eine periodische 

 Funktion <p(t) ab, indem wir festsetzen, daB 

 9?(t) fiir t = c/ 2 bis t == c/ 2 mit $(t) 

 iibereinstimmen und fiir Werte von t auBer- 

 halb dieses Intervalls dieselben Werte peri- 

 odisch wieder annehmen soil, so daB 



(p(t + c) = tp(t). 



Die positive GroBe c wollen wir uns 

 groB vorstellen. Wenn t als die Zeit aufgefaBt 

 wird, so wiirde das heiBen, daB y>(t) erst in 

 einer ferneren Zukunft oder ferneren Ver- 

 gangenheit von $(t) abweicht und daher 

 2>(t) iiberall vertreten kann, wo es auf diese 

 zukiinftigen und friiheren Werte nicht an- 

 kommt. Die Funktion cp(t) verwandelt sich 

 in eine Funktion von x mit der Periode 2n, 



wenn wir x = -t setzen oder: 

 c 



==<p =-- f(x), f(x+27r)==f(x). 



Diese Funktion f(x) denken wir uns 

 in eine Fouriersche Reihe entwickelt: 



f(x) == a + a! cos x + a 2 cos (2x) + . . . 

 + b x sin x + b 2 sin (2x) -\- . . . 



oder fiir t = c/ 2 bis +c/ 2 : 



= a + 2(A U cos (ut) + B u sin (ut)), 



wo fur u die Werte u = , 2. --, 3. , . . . 



C C C 



einzusetzen sind und unter A u die Werte 

 a : , a 2 , a 3 . . . unter B u die Werte b a , b 2 , 

 b 3 . . . verstanden sind: also. daB fiir 



ji 

 A u = / f(x) cos (Ax)dx 



71 



2 f> , 

 I $(t) cos (ut)dt 



-C/2 



71 

 1 fl 



u = i f(x) sin (Ax)dx 

 nj 



n 

 + C/2 



I <P(t) sin (ut)dt 



-C/2 



n 



c/2 



a n 



c/2 



