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Fouriersches Theorem 



Flir einen gegebenen Wert von t, der 

 absolut genommen kleiner ist als c/2, wollen 

 wir uns die Glieder 



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(A u cos (ut) + B u sin (nt)) 



als Ordinaten zur Abszisse u aufgetragen 

 denken, wobei 2 die Abszisse u == o 

 erhalten soil. Diese Ordinaten folgen in 



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dem Abstande aufeinander. Multipli- 



2n 



zieren wir jede Ordinate mit J - , so stellt 



c 



das Produkt 7ra n , n(A. n cos ut + B u sinut) 

 den Flacheninhalt eines Rechtecks von der 

 Breite des Abstandes zweier Ordinaten und 

 der Hohe der betreffenden Ordinate dar. 

 Die Fouriersche Reihe fiir 



$(t) == a + H A u cos (ut) -j- B n sin (ut) 



u 



kann also aufgefaBt werden als der nie Teil 

 der von all diesen Rechtecken iiberdeckten 

 Flache (im algebraischen Sinne gerechnet). 

 Wir betrachten nun die Integrate: 



C/2 c/2 



I <5(t) cos (ut)dt und / $(t) sin (ut)dt 



-c/2 ?;--c/2 



als Funktionen von u nicht nur fiir die 



diskreten Werte u = - 2.- 3.- 



c c ' c 



sondern fiir kontinuierlich veranderliche 

 positive Werte von u und wollen die Be- 

 schaffenheit von <P(t) so voraussetzen, daB 

 beide Integrate mit wachsendem c in zwei 

 bestimmte Funktionen von u iibergehen: 



C/2 



C(u) = lim / $(t) cos (ut)dt; 



C = OOC/ 



-c/2 



c/2 



S(u) = = lim / *(t) sin (ut)dt. 



c=oo e/ 

 C'2 



Bis auf GroBen, die gegen 1/c beliebig 

 klein werden, ist dann 



Wenn wir ferner annehmen, daB 



C/2 



Mit wachsendem c geht nun die von den 

 Rechtecken iiberdeckte Flache in die von der 

 Kurve 



C(u) cos (ut) + S(u) sin (ut) 



und der u-Achse begrenzten Flache liber. 

 so daB wir erhalten: 



oo 



= : / (C(u) cos (ut)+ S(u) sin (ut))du; 



und diese Gleichung gilt nun fiir jeden 

 beliebigen positiven oder negativen Wert 

 von t. 



Physikalisch gesprochen stellt, wenn wir t 

 als die Zeit auffassen. 



(C(u) cos (ut) + S (u) sin (ut)) du 



n 



eine Sinusschwingung dar von der Amplitude 



/ 



mit wachsendem c unterhalb einer endlichen 

 Grenze bleibt, so folgt daraus, daB a mit 

 wachsendem c beliebig klein werden muB. 



-}C 2 + S 2 du 



n 



und der Schwingungszahl u (Zahl der 

 Schwingungen in 2jr-Zeiteinheiten). Als 

 Summe von Lichtschwingungen aufgefaBt 

 bedeutet mi thin das Integral ein kon- 

 tinuierliches Spektrum von Schwingungen, 

 wobei jeder Schwingungszahl eine gewisse 

 Intensitat und Phasenverschiebung zu- 

 kommt. 



In dieser Darstellung finden wir die 

 Symmetrie wieder, die wir oben zwischen den 

 Ordinaten in aquidistanten Teilpunkten 

 der Periode und den Koeffizienten der 

 Fourierschen Entwickelung fanden. In 

 der unendlichen Fourierschen Reihe ging 

 diese Symmetrie verloren; aber in der 

 Integraldarstellung erscheint sie wieder; 

 denn die Funktionen C(u) und S(u), die die 

 Rolle der Koeffizienten spielen, werden aus 

 $(t) durch den namlichen Integrations- 

 prozeB gewonnen wie $(t) aus C(u) und S(u), 

 nur vert'iuschen u und t ibre Rollen. 



Literatur. H. Burkhardt, Trigonometrische 

 Interpolation . In der Ensyklopadie der mathe- 

 matischen Wissenschaftcn. Bd. II, 1. Teil. 

 Derselbe, Jahresbericht der deutschen mathe- 

 matischen Vereiniguny 10, 190J. 



C. Runge. 



