Gleichgewiclit 



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1st der Punkt in seiner Bewegungsfrei- 

 heit gehindert, so muB der georaetrische 

 Zwang durch Einfuhrung besonderer Krafte 

 berucksichtigt werden. Ruht z. B. ein schwerer 

 Punkt auf einer wagerechten Ebene, so muB 

 man, um init dem obigen Prinzip ini Ein- 

 klang zu bleiben, annehmen, daB von 

 der Flache aus auf den Punkt eine Kraft 

 ausgeubt wird, die die Wirkung der Schwere 

 aufhebt. 1st die Flache sehr glatt, so nimmt 

 man an, daB nur eine Kraft vorhanden 

 ist, die das Eindringen des Korpers ver- 

 hindert, dagegen keine, die die Bewegung 

 langs der Flache hindern wiirde. Eine 

 solche Flache nennt man ,,reibnngslos"; 

 sie ist dadurch gekennzeichnet, daB sie 

 nur eine zur Flache ,,senkrechte Reak- 

 tionskraft" ausziiiiben vermag. 



Aus dieser Festsetzung folgt, daB ein 

 Massenpunkt auf einer reibungslosen Flache 

 dann und nur dann im Gleichgewiclit ist, 

 falls die auBeren Krafte eine zur Flache 

 senkrechte (bei einseitiger Hinderung der 

 Bewegungsfreiheit nach dern Innern der 

 Stiitzflache gerichtete) Kesultierende liefern. 

 Die senkrechte Reaktionskraft ist dann gleich 

 der Resultierenden der iibrigen Krafte und 

 ihr entgegengesetzt gerichtet. 



2. Gleichgewicht eines Massenpunktes 

 mit Beriicksichtigung der Reibung. Die 

 Erfahrung zeigt, daB an jeder Flache auBer 

 der normalen Reaktionskraft eine ,,Reibungs- 

 kraft" auftritt, die die Bewegung langs 

 der Flache hindert. Es wird im allgemeinen 

 als empirische Regel angenommen, daB die 

 Reibung einen oberen Grenzwert nicht 

 uberschreiten kann, der proportional ist mit 

 der zwischen den zwei sich reibenden 

 Flachen auftretenden Druckkraft; der 

 Proportionalitatsfaktor Reibungskoeffi- 



zient genannt hangt von der ,,Rauhigkeit" 

 der Flachen ab. Im Falle eines Massen- 

 punktes, der auf einer rauhen Flache ruht, 

 ist der Druck zwischen dem Punkt und der 

 Flache durch die senkrechte Reaktions- 

 kraft (N) gegeben, so daB wir fiir die Rei- 

 bung (R) die Ungleichung 

 R <IfN 



(f der Reibungskoeffizient) ansehreiben 

 konnen. Aus dieser Ungleichung folgt, daB 

 die Resultierende der von der Flache aus- 

 geiibten Krafte stets einen Winkel mit der 

 Flachennormalen bildet, der kleiner ist, als 

 der ,,Reibungswinkel" a, d. h. der Winkel, 

 dessen trigonometrische Tangente tga == f 

 ist. Wahrend also beim Gleichgewiclit an 

 der reibungslosen Flache die Resultierende 

 der auBeren Krafte mit der Flachennormalen 

 zusammenfallen muB, geniigt es bei der 

 rauhen Flache, daB die Resultierende inner- 

 halb eines Kegels (,,Reibungskegel") fallt, 

 den man mit der Oeffnung a um die Flachen- 

 normale beschreiben kann. 



Die einfachste Anwendung des letzten 

 Satzes bildet das Gleichgewicht eines schweren 

 Punktes auf einer schiefen Ebene (Fig. 2). 



Fig. 2. 



Die einzige auBere nicht von der Unterlage 

 herriihrende - Kraft ist die Schwere vom 

 Betrage mg (in Masse, g Beschleunigung 

 der Schwere). Diese fallt offenbar inner- 

 halb des Reibungskegels, solange der 

 Neigungswinkel (p der schiefen Ebene 

 kleiner ist als der Reibungswinkel. Man 

 erhalt daher folgende Methode fiir Be- 

 stimmung des Reibungskoeffizienten: man 

 bestimmt jenen Grenzwert des Neigungs- 

 winkels, bei dem der Massenpunkt noch 

 gerade in Ruhe bleibt; dieser Grenzwert 

 liefert unmittelbar den Reibungswinkel und 

 die trigonometrische Tangente den Reibungs- 

 koeffizienten. Fragen wir nach der Grb'Be 

 der Reaktionskraft und der Reibung, so 

 liefert die Zerlegung der vertikalen Schwer- 

 kraft die beiden Gleichungen 



N == mg cos cp 

 R mg sin cp 



und aus der Bedingung 



R<Nf 

 mgsinq? < fmgcosq? 



folgt 



< a, 



wie wir bereits gefunden haben. 



3. Gleichgewicht am starren Korper. 

 Der Momentensatz. Fiir die Gleichgewichts- 

 bedingung der Krafte an einem starren 

 Kb'rper brauchen wir ein zweites Axiom; 

 dies sagt aus, daB zwei Krafte, die an zwei 

 Punkten eines starren Systems angreifen, 

 sich das Gleichgewicht halten, falls sie in 

 die Verbindungslinie der beiden Punkte 

 fallen, gleich groB und entgegengesetzt ge- 

 richtet sind. 



Das neue Axiom ist gewissermaBen eine 

 Erweiterung des ersten Axioms, das die 

 Ersetzung zweier Krafte durch die Resul- 

 tierende erlaubt, falls sie an demselben 

 Punkt angreifen. Das zweite Axiom er- 

 moglicht nun die Zusammensetzung zweier 

 Krafte, sobald ihreWirk'ungslinien sichschnei- 

 den. Es ist namlich klar, daB auf Grund des 

 neuen Axioms jede Kraft in ihrer eigenen Wir- 

 kungslinie sich beliebig verschieben laBt, 



