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ohne das Gleichgewicht zu storen. Grcift 

 z. B. cine Kraft 1* iin Punkte A an, und 

 wollou wir dieselbe nach B verschieben, 

 so konnen wir in B zunachst zwei gleiche 

 und entgegengesctzl gerichtete Krafte 1' mid 

 -P hinzufiigen, ohne an dem System etwas 

 zn iindeni, da diese sich nach deni ersten 

 Axiom anl'heben: andererseits hoben sich 

 nach deni zweiten Axiom P in A und -P 

 in B ebent'alls auf, so daB schlieBlich 

 nur P in B ubrig bleibt; d. h. die Kraft 

 kann von A nach B verschoben werden, ohne 

 daB an deni System irgendwelche Aenderung 

 eintreten wiirde. 



Fiir das Gleichgewicht eiues starren 

 Kb'rpers ist es demnach gleichgultig, in 

 welchem Punkte ihrer Wirkungslinie eine 

 Kraft angreift. Wahrend die Kraft im all- 

 gemeinen durch GroBe, Richtung und An- 

 griffspunkt gegeben wird, kommt fur die 

 Statik des starren Korpers statt des Angriffs- 

 punktes nur die Angriffslinie in Betracht. 



Die beiden Axiome konnen auch in der 

 Form zusammengefaBt werden, daB die 

 Krafte, die an einem starren Korper 

 angreifen, an ihre Wirkungslinie ge- 

 bundene Vektoren sind, die sich 

 nach den Regeln der Vektoraddition 

 zusammensetzen lassen. 



Aus dem Umstande, daB eine Kraft 

 in ihrer Wirkungslinie beliebig verschoben 

 werden kann, folgt unmittelbar, daB eine 

 Kraft vollstandig gegeben ist durch ihre 

 GroBe, Richtung, und durch ihr ,, Moment" 

 in bezug auf einen beliebigen Punkt. Unter 

 ,, Moment" einer Kraft in bezug auf einen 

 Punkt verstehen wir allgemein einen Vektor, 

 der senkrecht steht zu der durch die Kraft : 

 und den Bezugspunkt durcligelegten Ebene 

 und dessen GroBe durch das Produkt 

 der Kraft mit ihrem Hebelarm (mit dem 

 normalen Abstand der Wirkungslinie vom 

 Bezugspunkt) gegeben ist. Diese GroBe ist 

 gleich der doppelten Flache des Dreiecks, 

 das man erhalt, falls man Anfangs- und End- 

 punkt der Kraft mit dem Bezugspunkt ver- 

 bindet. Man bezeichnet das Moment als 

 ,,Vektorprodukt" der Kraft und des zum 

 Angriffspunkt fiihrenden Fahrstrahls. 



Wie die elementare Vektorrechnung zeigt , 

 ist das Moment eine additive Eigenschaft j 

 der Krafte, d. h. das Moment der Resultieren- 1 

 den (der ,,Vektorsumme" der Komponenten) 

 ist gleich der Resultierenden (Vektorsumme) 

 der Momente der Komponenten. Man nennt 

 diesen Satz den Momentensatz oder den 

 ,,Varignonschep" Satz. Daraus folgt. \vic 

 wir es gleich zeigen wollen, daB ein beliebigcs 

 Kraftsystem stets reduziert werden kann auf 

 eine ,,resultierende Kraft" and auf ein 

 ,,resultierendes Moment" in bezug auf einen 

 beliebig gewahlten Punkt. Zwei Kraft- 

 systeme sind aqnivalent, falls sie dieselbe 



resultierende Kraft und dasselbe resultierende 

 Moment liefern und insbesondere ist ein 

 Kraftsystem. das an einem starken Korper 

 angreift, dann und nur dann im Gleich- 

 gewicht, falls die resultierende Kraft und das 

 resultierende Moment beide verschwinden. 



Die Reduktion von Kraftsystemen ist 

 besonders einfach, falls alle Krafte in der- 

 selben Ebene liegen und so wollen wir mis 

 zunachst auf diesen Fall beschranken. 



4. Statik ebener Kraftsysteme. Die 

 Reduktion ebener Kraftsysteme kann ana- 

 lytisch oder graphisch geschehen. 



a) Rechnerische Reduktion. Be- 

 zeichnen wir die Kraftkomponenten mit X, 

 Y, die Koordinaten des Angriffspunktes 

 mit x, y und rechnen das Moment positiv, 

 wenn die I{jaft in positivem Sinne (von 

 der x-Achse zur y-Achse) dreht, so ist das 

 Moment gleich 



M = = Yx--Xy 



Sind also n Krafte durch ihre Komponenten 

 und ihre Angriffspunkte gegeben, so sind 

 die ,,Komponenten der resultieren- 

 den Kraft" 



RX == 



R, = 



und das resultierende Moment 



M = (Y ( x t - X,y ( ) 



i 



Daraus folgt, daB sobald R x und R y 

 nicht beide Null sind, die Wirkungslinie der 

 Resultierenden stets so bestimmt werden 

 kann, daB ihr Moment gleich ist dem Ge- 

 samtmoment des Systems. Wir haben nur, 

 falls die Koordinaten des Angriffspunktes 

 der Resultierenden mit |, tj bezeichnet 

 werden 



K.v-1 - RyT? = l(Y ( x t - X f y t ) == M. 



i 



zu setzen und diese Gleichung bestimmt 

 eine gerade Linie als Wirkungslinie der Re- 

 sultierenden. 



Einen Ausnahmefall liefert R x = : Ry : = 0. 

 Ist dann M verschieden von Null, so ist das 

 System aquivalent einem resultierenden Mo- 

 ment, dessen GroBe wie man leicht einsieht 

 -von dem Bezugspunkt unabhaugig ist. Man 

 sa.gt auch, das System ist gleichwertig einem 

 ,,Kraftepaar", d. h. zwei gleichen und ent- 

 gegengesetzt gerichteten Kraften, deren Ab- 

 stand so bestimmt ist, daB das Produkt 

 Kraft x senkrechter Abstand (Hebelarm des 

 Kraft epaares) M betragt; ein solches Gebilde 

 liefert augenscheinlich fur einen beliebigen 

 I'unkt der Ebene dasselbe Moment M. 



1st schlieBlich R x = = R y = = M == 0, so 

 ist das System im Gleichgewicht. 



