Gleichgewicht 



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b) Graphische Reduktion. Ein 

 sehr einfaches graphisches Verfahren zur 

 Keduktion von ebenen Kraftsystemen liefert 

 die Methode des sogenannten Seilpolygons. 

 Wir nehmen z. B. vier Kraft e PI, PI, P 3 , P 4 , 

 (Fig. 3) gegeben nach GroBe und Wirkungs- 

 linie. Statt die Krafte miteinander zum 

 Schnitt zu bringen und nach dem Parallelo- 

 grammsatze zusammenzusetzen, 

 fugen wir Hilfskrafte P 01 . . . P 40 

 hinzu derart, daB drei Krafte, 

 die in einem Punkte zusammen- 

 laufen, stets im Gleichgewicht 

 sind. Da die Krafte P 12 ...P 34 

 in positivem and negativem Sinne 

 hinzugefiigt werden, andern sie 

 an dem System uberhaupt nichts, 

 es bleiben also die erste und die 

 letzte Hilfskraft P 01 und P 40 

 iibrig und falls wir die Krafte so 

 bestimmt haben, daB je drei in 

 einem Punkte zusammenlaufen- 

 den Krafte im Gleichgewicht 

 sind, so ist offenbar das er- 

 weiterte System im Gleich- 

 gewicht, d. h. die Resultierende 

 der Krafte P 01 und P 40 ist gleich und ent- 

 gegengesetzt gerichtet der Resultierenden 

 des ursprunglich gegebenen Kraftsystems 

 und hat dieselbe Wirkungslinie. 



Es eriibrigt daher die Hilfskrafte so zu 

 bestimmen, daB je drei in einem Punkte 

 zusammenl^ufenden Krafte sich das Gleich- 

 gewicht halten. Dies geschieht in einfachster 

 Weise durch folgende Konstruktion: wir 



Wirken auf einen starren Korper Krafte, die in 

 einer Ebene liegen, so ist der Korper im Gleich- 

 gewicht, falls die Krafte die Resultierende 

 Null und in bezug auf jeden beliebigen 

 Punkt das resultierende Moment Null liefern. 

 Sind samtliche Krafte gegeben, so liefern 

 diese Bedingungen das Gleichgewichts- 

 kriterium, sind unbestimmte Reaktions- 



r 2,3 



traen die Krafte 



P 2 , P 3 , P 4 nach- 



einander in einem Linienzug (nach GroBe 

 und Richtung) auf, und verbinden Anfangs- 

 und Endpunkte init einem beliebigen Punkt 0. 

 Wahlen wir die Hilfskrafte nach Richtung 

 und GroBe gleich den Verbindungsstrecken, 

 so bilden je drei Krafte, die in einem 

 Punkte des ,, Seilpolygons" zusammenlaufen, 

 im ,,Kraftpolygon" ein geschlossenes Dreieck, 

 so daB unsere Bedingung erftillt ist. 



Wir erhalten somit die Resultierende nach 

 GroBe und Richtung, indem wir den Linienzug 

 P! . . . P 4 im Kraftpolygon schlieBen und 

 ihre Wirkungslinie, falls wir die erste und 

 letzte Hilfskraft im Seilpolygon zum Schnitt 

 bringen. Ein Ausnahmefall wird dadurch 

 gebildet, daB die Krafte einen geschlossenen 

 Linienzug bilden; in diesem Falle werden 

 die Hilfskrafte P 01 und P 40 parallel; die 

 Resultierende ist offenbar ein Kraftepaar. 

 Fallen insbesondere die Hilfskrafte P 01 und 

 P 40 auch im Seilpolygon zusammen, so ist 

 das System im Gleichgewicht. 



Die Bedinguug des Gleichgewichts ist 

 somit ein je in sich gesdilossenes &aft- und 

 Seilpolygon. 



5. Gleichgewichtsbedingungen eines 

 starren Korpers beim ebenen Kraftsystem. 



krafte vorhanden, so werden diese durch 

 die Gleichgewichtsbedingungen bestimmt, 

 soweit die Anzahl der zu bestimmenden 

 GroBen drei nicht ubersteigt. Ist das letztere 

 der Fall, so ist das Problem statisch unbe- 

 stimmt. 



Wir wollen einige wichtige Sonderfalle 

 betrachten: 



a) Ist der Korper um eine Achse dreh- 

 bar, so ist er im Gleichgewicht, wenn das 

 Moment der Krafte in bezug auf die Achse 

 verschwindet. 



b) Ruht ein Korper auf zwei reibungs- 

 losen Stutzflachen, so sind die Wirkungs- 

 linien der Reaktionskrafte durch die Flachen- 

 normalen gegeben; der Korper ist folglich 

 im Gleichgewicht falls die Resultierende 

 durch den Schnittpunkt der Normalen geht 

 (Fig. 4). Wird der eine freie Stiitzpunkt 



Fig. 4. 



durch einen festen Punkt ersetzt, so ist der 

 Korper bei beliebigen Kraften in Gleich- 

 gewicht und die Reaktionskrafte sind ein- 

 deutig gegeben. Werden beide Stiitzpunkte 



