Gleichgewicht 



chungen in bezug auf den fcsten Punkt 

 das Kriterium des Gleichgewichts, die drei 

 anderen Gleichungen bestimmen die drei 

 Komponenten der Reaktionskraft. 



b) Ein besonders wichtiger Spezialfall des 

 raumlichen Kraftsystems ist der Fallparalleler 

 Krafte. Die Resultierende paralleler Krafte 

 ist gleich der algebraischen Summe der Krafte 

 und hat dieselbe Richtung. Soil der Korper 

 im Gleichgewicht sein, so muB er in einem 

 Punkte der Wirkungslinie der Resultierenden 

 gestiitzt werden. Wird als auBere Kraft 

 die Schwere angenommen, so ist die Re- 

 sultierende das Gewicht des Kb'rpers. In 

 diesem Falle gibt es einen Punkt des starren 

 Kbrpers (Schwerpunkt, Massenmittelpunkt), 

 der dieEigenschaft hat, daB in beliebiger Lage 

 die Wirkungslinie des Gewichtes durch diesen 

 Punkt geht. Daraus folgt, daB der Korper 

 im Gleichgewicht ist, falls Schwerpunkt und 

 Stiitzpunkt in derselben Lotrechten liegen. 

 Liegt der Schwerpunkt unterhalb des Stiitz- 

 punktes, so ist das Gleichgewicht - - wie wir 

 spater genauer sehen werden stabil, in 

 entgegengesetztem Falle lab il. Falls Schwer- 

 punkt und Stutzpunkt zusammenfallen, heiBt 

 das Gleichgewicht neutral. 



8. Gleichgewicht beliebiger Punkt- 

 systeme. Deformierbare Korper. Bei 

 einem beliebigen Korper hat man drei Gleich- 

 gewichtsbedingungen fiir jeden Punkt, so 

 daB die Krafte bei n Punkten 3n Bedingungen 

 genugen miissen. Man unterscheidet zwischen 

 auBeren und inneren Kraften; die letzteren 

 sind diejenigen, welche zwischen zwei Punkten 

 des Systems wirken, sie miissen dem Prin- 

 zip von actio und reactio zufolge - - paar- 

 weise gleich und einander entgegengesetzt 

 gerichtet sein. Daraus folgt, daB die 6 Be- 

 dingungen fiir die auBeren Krafte, die fiir 

 das Gleichgewicht eines starren Korpers 

 notwendig und hinreichend sind, auch bei 

 einem beliebigen System eine notwendige 

 Bedingung des Gleichgewichts bilden. Man 

 leitet daraus das ,,Prinzip des Festmachens" 

 ab, indem man bei einem beliebigen Punkt- 

 system oder bei einem beliebigen deformier- 

 baren Medium als Bedingung des Gleich- 

 gewichts hinstellt, daB die Krafte, die an 

 einem beliebigen Teil des Systems an- 

 greifen, den Gleichgewichtsbedingungen am 

 starren Korper genugen sollen. 



Wenn man in dieser Weise die Theorie 

 des Gleichgewichts von kontinuierlichen 

 Medien ableiten will, so sind zwei Wege 

 gangbar: man kann einerseits vom Punkt- 

 system ausgehen und so zu der Mechanik 

 des Kontinuums gelangen, indem man die 

 inneren Krafte, deren Wirkungslinie durch ein 

 Flachenelement geht, zu einer Resultierenden 

 vereinigt und diese als Spannuug in bezug 

 auf das Flachenelement definiert; anderer- 

 seits kann man die Spannung als etwas un- 



mittelbar durch Anschauung Gegebeues an- 

 sehen. In beiden Fallen muB manfordern, daB 

 Spannungen und auBere Krafte einen be- 

 liebigen Teil des Korpers im Gleichgewicht 

 halten solleu. Indem man auBerdem fiir die 

 Abhangigkeit der Spannungen von der De- 

 formation besondere Annahmen einfiihrt, 

 gelangt man zu der Statik der elastisch festen 

 Korper (vgl. den Artikel ,,Elastizitat") 

 und der elastischen Fliissigkeiten (vgl. den 

 Artikel ,,Gasbewegung"). Die Statik der 

 inkompressiblen Flussigkeiten (vgl. den Ar- 

 tikel ,,Fliissigkeit") ergibt sich schlieB- 

 lich als Grenzfall der Statik elastischer (kom- 

 pressibler) Fliissigkeiten. 



II. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten. 



i. Das Prinzip fiir einen Massenpunkt 

 und fiir Punktsysteme. Fiir einen freien 

 Massenpunkt ist die Aussage des Prinzips der 

 virtuellen Arbeiten offenbar gleichbedeutend 

 mit der Bedingung des Kraftegleichgewichts. 

 Da ein freier Punkt nur dann im Gleich- 

 gewicht sein kann, wenn die Resultierende 

 der Krafte verschwindet, so ist es klar, 

 daB auch die Arbeit, die diese Krafte 

 bei einer beliebigen Verschiebung leisten 

 wiirden, Null ist. Die Formulierung als 

 Arbeitsprinzip bietet aber in diesem Falle 

 keine Vorteile, es ist dies erst der Fall, wenn 

 die Bewegungsfreiheit des Punktes gehindert 

 ist, da dann die Krafte, die den geo- 

 metrischen Zwang darstellen und keine 

 Arbeit leisten, in die Gleichgewichtsbe- 

 dingung iiberhaupt nicht eintreten. Das 

 Prinzip sagt dann aus, daB Gleichgewicht 

 herrscht, sobald die Krafte bei keiner 

 gedachten, geometrisch mb'glichen Ver- 

 schiebung Arbeit leisten wiirden. Die 

 denkbaren geometrisch mb'glichen Verschie- 

 bungen nennt man ,,virtuell". Ruht z. B. 

 ein Punkt auf einer reibungslosen Flache, 

 so folgt die bereits friiher gewonnene Regel, 

 daB die Krafte eine zur Flache normale 

 Resultierende liefern miissen, unmittelbar 

 aus dem Arbeitsprinzip, da nur zur Ver- 

 schiebung senkrechte Krafte keine Arbeit 

 leisten. 



Sind mehrere Massenpunkte durch einen 

 unausdehnbaren Faden oder durch starre, 

 gewichtslos gedachten Stabe verbunden, 

 dann ist es ebenfalls klar, daB die zwischen 

 den Punkten auftretenden, durch die Ver- 

 bindung bedingten Krafte keine Arbeit 

 leisten, folglich das System nur dann im 

 Gleichgewicht sein kann, falls die iibrigen, 

 die sogenannten ,,auBeren" Krafte bei keiner 

 geometrisch moglichen Verschiebung Arbeit 

 leisten wiirden. Man kann in dieser Weise 

 z. B. die Gleichgewichtsbedingung fiir zwei 

 schwere, durch einen unausdehnbaren Faden 

 verbundene Punkte unmittelbar ableiten, die 

 an zwei schiefen Ebenen mit verschiedenen 



