Grleichgewicht 



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Krafte 1st gleich 



P 1 <3s 1 --P 2 <5s 2 = 



Andererseits verhalten sich die Wege wie die 

 Hebelarme 



dsi'.ds* == r l r 2 

 wo raus 



P iri --P 2 r 2 ==0 

 folgt, 



b) Jede ebene Bewegung kann als eine 

 Drehung um einen momentanen Drehungs- 

 mittelpunkt aufgefaBt werden. 1st die Ver- 

 schiebungsrichtung zweier Piinkte bekannt, 

 so erhalt man das momentane Zentrum, 

 indein man zwei auf die Verschiebungs- 

 richtung senkrechte Geraden zum Schneiden 

 bringt. Die Arbeit ist alsdann das Drehmo- 

 ment um den momentanen Drehpunkt X 

 Verdrehung. Es folgt daraus unmittelbar 

 unser friiheres Resultat, daB bei zwei rei- 

 bungslosen Stutzpunkten die Resultierende 

 der auBeren Krafte im Gleichgewicht durch 

 den Schnittpunkt der beiden Flachen- 

 normalen gehen muB, da dieser als das 

 momentane Zentrum aufgefaBt werden kann. 



4. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten fur 

 deformierbare Systeme. Bei deformierbaren 

 Systemen lautet das Gleichgewichtsprinzip 

 folgendermafien: bei jeder virtuellen (geo- 

 metrisch moglichen) Veranderung der Lage 

 und der relativen Konfiguration der Teile 

 ist die gesamte Arbeit der inneren und 

 auBeren Krafte gleich Null. Da die inneren 

 Ivrafte im allgemeinen mit der Konfigura- 

 tion sich anclern, muB man sich in diesem 

 Falle auf infinitesimale Verriickungen be- 

 schranken. Genauer kann man so sagen: man 

 entwickelt die Arbeit die bei einem Ver- 

 riickungssystem geleistet wird, nachPotenzen 

 der Verriickungen und nun miissen die Aus- 

 driicke der ersten Naherung identisch in den 

 Verriickungen verschwinden, sobald man 

 die geometrischen Zusammenhange beriick- 

 sichtigt. In den wichtigsten Fallen (z. B. bei 

 vollkommen elastischen Systemen) geschieht 

 die Arbeitsleistung der inneren Ivrafte auf j 

 Kosten einer inneren Energie (z. B. auf i 

 Kosten der Formanderungsenergie des elas- 

 tischen Systems); im Falle des Gleichgewichts 

 muB daher bei jeder Verschiebung von der 

 Gleichgewichtslage aus die Arbeit der auBeren 

 Krafte genau gleich sein der Zunahme der 

 inneren Energie. In diesen Fallen ist das 

 Gleichgewicht gegeben, sobald wir die Ab- 

 hangigkeit der Energie vom Deformationszu- 

 stand kennen. Wird z. B. ein Balken durch 

 ein Gewicht belastet, so ist die Gleichgewichts- 

 gestalt des Balkens dadurch ausgezeichnet, 

 daB beim Uebergang in eine beliebige 

 andere benachbarte Gestalt, die man geo- 

 metrisch sich denken kann, die Arbeits- 

 leistung des Gewichtes (Gewicht X Durch- 

 senkung) gerade gleich ist der Zunahme der ! 

 elastischen Energie. Wir koimeii auch 

 sagen, daB man die Gestalt des Balkens so 



zu bestimmen hat, daB die Gesamtaibeit 

 der Krafte ,,bei jeder Variation" ver- 

 schwindet und so gelangt man durch An- 

 wendung des Prinzipes der virtuellen Arbeiten 

 unmittelbar zu den sogenannten ,,Variations- 

 prinzipen' ; der Elastizitatslehre. 



III. Stabilitat des Gleichgewichts. 



i. Die Definition der Stabilitat. Dirich- 

 letscher Stabilitatssatz. Wir sagen, ein 

 System sei im stabilen Gleichgewicht, falls 

 durch geniigende Einschrankung der An- 

 fangslage und Anfangsgeschwindigkeit die 

 Abweichung von der Gleichgewichtslage und 

 die Geschwindigkeit samtlicher zum System 

 gehorenden Punkte fur alle Zeiten beliebig 

 eingeschrankt werden ko'nnen. Wie scharf 

 man auch die Umgebung der Gleichgewichts- 

 lage einschrankt, in dem das System fur alle 

 Zeiten sich befinden soil, so kann dies durch 

 eine geniigende Einschrankung der Anfangs- 

 bedingungen stets erreicht werden. 



Das Kriterium der Stabilitat ist besonders 

 einfach, falls wir uns auf Ivrafte beschranken, 

 bei denen jede Arbeitsleistung auf Kosten einer 

 potentiellen Energie geschieht. Es geniigen 

 dieser Bedingung z. B. unter den auBeren Kraf- 

 ten die Schwere, die elektrostatischen Krafte 

 usw., fernerallenach Richtungoder GroBe fest 

 gegebenen Ivrafte, unter den inneren Kraften 

 die elastischen Spannungen. Das Gleich- 

 gewicht ist im allgemeinen dadurch be- 

 stimrnt, daB bei alien moglichen Verschie- 

 bungen keine Arbeit geleistet wird. Ge- 

 schieht jede Arbeit auf Kosten der poten- 

 tiellen Energie, so muB die potentielle Energie 

 bei jeder kleinen Verschiebung unverandert 

 bleiben, sie muB einen stationaren Wert 

 haben. Es sind nun drei Falle moglich: 

 die potentielle Energie hat in der fraglichen 

 Lage ein Minimum oder ein Maximum 

 oder aber es tritt, obwohl ein stationarer 

 Wert vorhanden ist, kein Extremum auf 

 (,,Minimax"). Man kann nun leicht zeigen, 

 daB unter diesen Fallen das Minimum der 

 potentiellen Energie die Stabilitat ge- 

 wahrleistet. 



Wir wollen uns auf einen einzigen Massen- 

 punkt beschranken, aber es sei bemerkt, 

 daB der Beweis auf beliebige Systeme leicht 

 iibertragen werden kann. Wir konnen uns 

 ferner ohne Einschrankung der Allgemein- 

 heit den zweidimensionalen Fall vorstelleu. 



Wir bestimmen die Gleichgewichtslage, 

 deren Stabilitat untersucht werden soil, 

 durch die Koordinaten x , y , die potentielle 

 Energie V sei eine Funktion von x und y 

 und ihr Wert im Punkte x , y sei V . Wir 

 wollen zeigen, daB, falls V in x , y n einen 

 Kleinstwert hat, d. h. falls alle Werte in 

 der Umgebung groBer sind als V , das 

 Gleichgewicht stabil ist. Zu diesem Zwecke 

 zeigen wir, daB der Punkt immer innerhalb 

 eines beliebig kleinen Kreises bleiben muB, 



