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fall- nur (lit- Aiil'anirslairc irenuirend nahe 

 /u x (1 , y,, uiul die Anfangsgescnwindigkeil i;'e- 

 augend klein m'wiilill \virtl. \Vir iirliiiic'ii 

 als riiim-liiinu' ciiicii Krcis mil dcm Radius o; 

 da \' in \,,. > t-iii Minimum hat. sind aflc 

 Wcrtc von \' an dcm Krcisumt'ang gro'Ber 

 als Y,,: cs sri der kleinste von ihncn Y,. 

 alsdaiiu ist cs klar. dal.i. \vcnn dcr Anl'an^s- 

 \vcrt dcr ^csamtcii Kneru;ie so u'ewahlt \vird. 

 dal.i IT klcincr ist als Y , (d. h. /wischen Y 

 nnd V, lie'4t), dcr Punkt nie aiis dem 

 Krci>c hcraus kann, da or in dem Aiigcn- 

 blickc, wo tT den Krcis passicrcn soil. weiii^- 

 stcns cine Energiemenge V l besitzen miiBte, 

 seine Anfangsenergie aber, die wahrend 

 der Beweirunu; knnstant bleibt, weniger 

 als Y, bctrairt. Man kann sich die Werte 

 dcr potent iellen l-lneriric ctwa als Hohon- 

 koordinaten einer Fliiche denken; das Mini- 

 mum ontspricht dann eincr Mulde und, 

 \venn alle Punkte in der Umgebung holier 

 si ml, so kann tier Punkt cine bestimmte 

 (rrenzlinie nur dann iibersehreiten, wenn er 

 (lurch die Stoning wenigstens so viel Energie 

 erliiilt, dali er den medrigsten Punkt der 

 Grenzlinie passieren kann. Falls also die 

 Stoning geniigend klein ist, so bleibt er 

 stcts innerhalb d^r vorgeschriebenen Grenze, 

 d. h. seine Gleichgewichtslage ist stabil. 



Ein Punkt unter der Wirkung der Schwere 

 ist also im stabilen Gleichgewicht, falls seine 

 Hohe gegen alle geometrisch moglichen 

 Nachbarlagen ein Minimum bildet; bei 

 cincin System unter der Wirkung der 

 Schwere gilt dasselbe fiir den Schwerpunkt. 

 Ein interessantes Beispiel zeigt Fignr 8: auf 



Fig. 8. 



einen Kreiszylindcr ist schief ein andcriM 

 aufgesetzt, von deni wir annehmen, daB er 

 nur rollen kann nnd daB sein Schwerpunkt 

 excentrisch liegt. Die Figur zeigt,- daB die 

 gezeichnete Lage stabil ist, weil der Schwer- 

 punkt beim Abrollen nach beiden Seiten 

 steigen wiirde. Dies erklart die Ersclieinuii^ 

 der sogenannten Wackelsteine. 



2. Anwendung auf rotierende Korper. 

 Das Prinzip vom Minimum der potentiellen 

 Energie kann leiclit iibertragen werden auf 

 Systeme, die mit gleichl'orniiger Umdrehnngs- 



geschwindigkeil urn cine Achse rotieren. 

 Ein solches System kann man namlioh durch 

 ein ruhciides erset/.en. lalls die Zentril'ugal- 

 krafte als iiuljcre Krat'te hinzngel'iigt werden. 

 Man iniil.i also annehmen, daB ieder Massen- 

 tcil mil der Masse in cine AbstoBung vom 

 Bet rage mroj 2 von der Achse erleidet (r Ent- 

 fernung von der Achse, w Vindreluingsge- 

 schwindigkeit). Die Arbeit, die die Zentri- 

 fugalkral'te leisten, falls die Masse von der 

 Achse auf eine Entfernung r geschoben wird, 



ist offenbar -~. r 2 w 2 (gleich der kinetischen 



Energie). Soil diese Arbeit auf Kosten einer 

 potentiellen Energie geschehen, damit wir 

 unser Theorem anwenden konnen, so miissen 

 wir als scheinbare potentielle Energie die 

 u in diesen Betrag verminderte wahre po- 

 tentielle Energie ansehen. 



Wir nehmen als Beispiel eine Kugel, die an 

 einer gewichtlosen Stange hangt und rotiert 

 (Fig. 9a nnd 9b). Wir fragen, ist das Gleich- 



mg 



r 



Fig. 9. 



gewicht stabil oder nicht? Die potentielle 

 Energie der Schwere ist gleich Gewicht x Hohe ; 

 falls wir also die Energie als Funktion des 

 Ausschlages auftragen, so ist sie durch einen 

 Halbkreis gegeben. Von dieser Energie 



miissen wir die Grb'Be - g - tur 2 abziehen, so daB 

 die scheinbare gesamte potentielle Energie 



V == mgh- 



' 



co ? r 2 



betragt. Man sieht leicht, daB V fiir 

 r ein Minimum besitzt, so lange 

 co klein ist (Fig. 9 a), dagegen ein 

 Maximum fiir groBe co (Fig. 9b). Die 



(Irenxe ist bei co = f die Umdrehunszahl 



= f (di 



