Grleichgewidit 



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stimmt in diesem Falle mit der Schwin- 

 gungszahl der als Pendel aufgehangten 



- j O* 



Kugel iiberein). Ist co > I/ p so hat man 



das Minimum fiir einen von Null verschie- 

 denen Wert von r, d. h. die vertikale Lage 

 ist labil nnd das Gewicht wird bei jeder 

 kleinen Stoning ausschlagen und in die 

 stabile Lage iibergehen. 



Die Stabilitat einer rotierenden Fliissig- 1 

 keitsmasse, deren Teile sich nach dem 

 Newtonschen Attraktionsgesetz anziehen, 

 ist vom kosmogonischem Standpunkte aus 

 interessant. Die Untersuchung zeigt fol- 

 gendes: wenn man von der Kugel ausgeht, 

 die im Ruhezustande die' Gleichge- j 

 wichtsfigur bildet, so tiitt znnachst in- ; 

 folge der Umdrehung eine Abplattung ein; 

 bei wachsender Unidrehungsgeschwindigkeit 

 wird aber die rotationssymmetrische Gleich- 

 gewichtsfigur instabil und die Masse nimmt 

 eine birnenformige nnsymmetrische Gestalt 

 an. Es ist wohl mb'glich, daB eine weitere 

 Steigerung der Umdrehungszahl zurTrennung i 

 fiihren kann, so daB man sich inderWeise das 

 Entstehen von Doppelsternen vorstellen kann. 



SchlieBlich wollen wir die Stabilitats- 

 bedingung fiir einen um seine eigene Achse in 

 aufrechter Lage rotierenden Kreisel angeben. 

 Bezeichnet to die Umdrehungsgeschwindig- 

 keit, Jj das Tragheitsmoment um die Kreisel- 

 achse, J 2 das Tragheitsmoment in bezug auf 

 eine zu der letzteren senkrechte Achse durch 

 den Stiitzpunkt, s den Schwerpunktsabstand 

 vom Stiitzpunkt gemessen, so ist das Gleich- 

 gewicht stabil, falls der Drehimpuls 



3. Methode der kleinen Schwingungen. 

 Das energetische Stabilitatskriterium, das 

 wir in i. auseinandergesetzt haben, ist auf 

 die Falle beschrankt, in denen alle Krafte 

 auf Kosten einer nur von der Lage und Kon- 

 figuration abhangigen Energie Arbeit leisten. 

 Nun sind aber oft Widerstandskrafte, Rei- 

 bung usw. zu berticksichtigen, diese Krafte 

 konnen sogar fiir die Stabilitat maBgebend 

 werden. In all diesen Fallen kann man die 

 sogenannte ,,Methode der kleinen Schwin- 

 gungen" anwenden, d. h. unmittelbar die 

 Bewegung untersuchen, die eine kleine Ab- 

 weichung von der Gleichgewichtslage zur 

 Folge hat. Das Wesen der Methode besteht 

 darin, daB man in den Ausdriicken fiir die 

 Krafte nur die ersten Potenzen der Ab- 

 weichungen der Koordinaten von der Gleich- 

 gewichtslage und die ersten Potenzen der 

 Geschwindigkeiten beriicksichtigt. Die Be- 

 wegungsgleichungen des Systems werden mit 

 dieser Annaherung durch line are Dif- 

 ferentialgleichungen mit konstanten 

 Koeffizienten ersetzt und als Losung kann 

 man im allgemeinen vier Bewegungstypen 

 erhalten: a) aperiodisch gedampfte Bewe- 



gung gegen die Gleichgewichtslage, b) Schwin- 

 gungen mit abnehmender Amplitude (perio- 

 disch gedampfte Bewegung), c) Schwin- 

 gungen mit zunehmender Amplitude, 

 d) aperiodisch wachsende Entfernung von der 

 Gleichgewichtslage. Besitzen die Differen- 

 tialgleichungen nur Losungen vom Typ 

 a) oder b) (inklusive Schwingungen mit kon- 

 stanter Amplitude), so ist die Gleichgewichts- 

 lage stabil, sonst labil. 



~ In manchen Fallen geniigt es, die Unter- 

 suchung der Bewegung durch eine einfache 

 Untersnchung der Krafteverhaltnisse zu 

 ersetzen, indem man sich das System aus der 

 Gleichgewichtslage ein wenig entfernt denkt 

 und priift, ob die dadurchentstehenden Krafte 

 das System gegen die Gleichgewichtslage 

 zuriickbringen oder die Abweichung noch 

 vergroBern. Es ist leicht einzusehen, daB 

 diese ,,statische Stabilitat" nicht un- 

 bedingt gleichbedeutend ist mit der eigent- 

 lichen (,,dynamischen") Stabilitat, es 

 kann. z. B. wohl vorkommen daB die Krafte 

 im ersten Moment das System gegen die 

 Gleichgewichtslage bewegen, dann aber 

 doch wachsende Schwingungen entstehen; 

 ebenso kann das System im ersten Moment 

 sich von der Gleichgewichtslage entfernen 

 und dann z. B. durch Widerstandskrafte, 

 die von der Geschwindigkeit abhangen, 

 doch zuriickgebracht werden. 



IV. Das thermodynamische Gleichgewicht. 

 i. Die beiden Hauptsatze der Thermo- 

 dynamik und die Bedingungen des thermo- 

 dynamischen Gleichgewichts. Ein rein me- 

 chanisches System ist im Gleichgewicht, falls 

 die Arbeit der a'uBeren Krafte bei jeder virtuellen 

 Aenderung gleich ist der Zunahme der -inneren 

 potentiellen Energie. Fur therrnische Systeme 

 muB zunachst der Energiebegriff iibertragen 

 werden. Dies geschieht durch den ersten 

 Hauptsatz der Thermoclynamik, namentlich 

 durch die Festsetzung, daB beim Uebergang 

 auf beliebigem Wege zwischen zwei Gleich- 

 gewichtszustiinden des Systems die Summe der 

 von den auBeren Kraften geleisteten Arbeit 

 und der von auBen zugefuhrten War me nur vom 

 Anfangs- und Endzustand abhangt: sie ist gleich 

 der ,,Differenz der Energien" der beiden Zu- 

 stande. Der zweite Hauptsatz beschrankt 

 zunachst den Uebergang auf sogenannte ,,re- 

 versible" Aenderungen, d. h. auf Prozesse, 

 die aus einer Folge von Gleichgewichtszustanden 

 bestehen und sagt aus, daB bei solchen Aende- 

 rungen die Warme als Produkt der Temperatur 

 und der Aenderung eines neuen Zustandspara- 

 meters, der Entropie ausgedriickt werden kann. 

 ' Die ,,reversible Aenderung-' spielt in der Thermo 

 ' dynamik die Rolle, die in der Mechamk der 

 virtuellen Verschiebung zukommt und die Aus 

 sage des zweiten Hauptsatzes uber solche Aende 

 rungen kann man auch als Bedingung des 

 Gleichgewichts auffassen; man fordert dann, 

 daB im Falle des Gleichgewichts bei jeder ; 

 dachten reversiblen Aenderung die geleis 

 Arbeit und die mit der Temperatur multipli- 

 zierte Entropieanderung gleich der Zunahme der 



