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[nfimtesimalrechnung 



<l;is (ilciche gilt von der Folge 



-0,3; 0,33; 0,33; 0,333; 0,333; . . . 

 Kiuc konvergente Folge von rationalen 

 Zahlen branch! sich nicht notwendig unbe- 

 urenzt oiner rationalen Zahl zu niihern; wie 

 z. B. die Folge derjenigen Zahlen, die man 

 erhalt, wenn man einen nicht periodischen 

 unendlichen Dezimalbruch, etwa 



0,10110111011110111110... 

 nach der 1., 2., 3., . . . Dezimale abbricht. 

 Man sieht sich daher veranlaBt, durch solche 

 konvergente Folgen neue Zahlen, die irra- 

 t ion ale n Zahlen derart zu definieren, daB 

 sie als Grenzwerte der Glieder der Folge er- 

 scheinen. Die Gesamtheit aller dieser Zahlen 

 ist darstellbar durch die Menge aller end- 

 lichen oder unendlichen Dezimalbriiche und 

 laBt sich durch die Punkte einer konti- 

 nuierlichen Strecke darstellen. Das so defi- 

 nierte Z ahlenkon tinu um bildet die Grund- 

 lage der Infinitesimalrechnung. 



Allgemein definiert man den Grenzwert 

 oder Limes einer Folge rationaler oder irra- 

 tionaler Zahlen a 1? a 2 , a 3 , . . . a n , ... als eine 

 Zahl a, der sich die Zahlen der Folge unbe- 

 grenzt annahern, derart, daB der absolute 

 Wert a a n kleiner wird als jede beliebig 

 kleine GroBe, wenn nur der Index n hin- 

 reichend groB genommen wird; man bezeieh- 

 net dieses Verhaltnis durch die Schreibweise 

 lim a n == a. 



n=oo 



Dann hat jede konvergente Zahlenfolge (auch 

 irrationaler Zahlen) einen Limes. 



1 3_ 4_ 



So ist z. B. fiir die Folge x, }'x, J/x, 1 x, 



n 



. . . lx, . . ., wo x irgendeine von Null verschie- 

 dene positive Zahl ist, der Grenzwert stets 

 gleich 1. 



Es gilt unter anderen der folgende wichtige 

 Satz: Eine Zahlenfolge, bei der ein Glied 

 nie kleiner ist als das vorangehende, alle 

 Glieder aber kleiner bleiben als eine be- 

 stimmte Zahl, ist konvergent. 



Diese Bedingungen werden, wie leicht zu 

 sehen ist, von der fiir das folgende sehr wichtigen 

 Zahlenfolge 



, 1 



erfiillt; sie besitzt also einen Grenzwert, den man 

 mit dem Buchstaben e bezeiehnet und der den 

 irrationalen Wert 



(1) e = lim (l + l \ -- 2,71828 . 



n=oc\ n/ 

 besitzt. 



Sei ferner r,, r 2 , ...r n ,... eine konver- 

 gente Folge rationaler Zahlen mit den Limes x 

 und a irgendeine Zahl, so zeigt es sich, daB 

 die Folne 



o 



a r i, a r --, . . . . a r n,. . . . 



stets einen Limes hat; man bezeiehnet diesen 

 als lirn a r n == a x und hat damit die Potenz 



n=oo 



einer Zahl a auch I'iir irrationale Exponenten x 



definiert. Fiir die so definierte allgemeine 

 Potenz gelten dieselben Rechenregeln wie 

 fiir die Potenz mit rationalen Exponenten, 

 so vor allem die Regel 



ic) Der Funktionsbegriff. Ordnet 

 man jeder Zahl x des Zahlenkontinuums (oder 

 eines bestimmten Intervalles desselben) nach 

 irgendeinem Gesetze eine zweiteZahl y zu, so 

 nennt man y eine Funktion von x, in 

 Zeichen y : '- f(x) oder y = : F(x) oder dgl. 

 Man bezeiehnet auch x als die unabhangige, 

 y als die abhangige Veranderliche 

 (Variable). 



So ist z. B. nach dem Gesetze von Gay- 

 Lussac das Volumen eines Gases bei konstantem 

 Drucke Funktion der Temperatur. Weitere 

 Beispiele, bei denen das Gesetz durch einen 

 mathematischen Ausdruck gegeben ist, sind etwa 



3 



y = a x + b, y = x 2 , y == V2 x + 5, y = sin x, 

 y = cos x usw. 



Man pflegt Funktionen dadurch zu ver- 

 anschaulichen, daB 

 man x und y als 

 Koordinaten in ein 



rechtwinkliges 

 Achsenkreuz ein- 

 tragt; die Funktion 

 wird dann durch 

 eine,,Kurve"inder 



Fig. 1. 



Ebene dargestellt. 

 GemaB der geome- 

 trischen Anschau- 

 ung (vgl. Fig. 1), 



bei der beide Achsen gleichberechtigt sind, 

 kann man in den meisten in der Praxis 

 vorkommenden Fallen auch x als Funktion 

 von y anffassen: x == y> (y); diese heiBt die 

 Umkehrfunktion oder inverse Funk- 

 tion von y == f(x) 



So ist z.' B. die Umkehrfunktion von y = x n 



n 



gegeben durch die Formel x = Vy. Ferner sind 

 von Wichtigkeit die Umkehrfunktionen der tri- 

 gonometrischen Funktionen sin x, cos x, tg x, 

 ctg x; man bezeiehnet sie mit arc sin y, arc cos y, 

 arc tg y, arc ctg y. 



id; Stetigkeit. Den anschaulichen Be- 

 griff der Stetigkeit einer Kurve erfaBt man 

 mathematisch durch folgende Definion. 



Sei a irgendeine feste Zahl und x 1? x.,, 

 . . . x n , . . . eine Folge, fiir die lim x n == a ist; 



n = OC 



wenn dann fiir jede solche Folge mit dem 

 Limes a die Folge der Werte 



f( Xl ), f(x 2 ),...f(x n ),.... 

 gegen denseiben Wert b konvergiert, so heiBt 

 b der Grenzwert (Limes) der Funk- 

 tion fiir die Stellc x == a, wasmansoschreibt. 

 lim f(x) == b. 



x = a 



Als Beispiel wollen wir den Grenzwert der 



Funktion sm x fiir x = berechnen. Aus der 

 x 



