In f i nitesimalrechming 



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geometrischen Definition des Sinus (Fig. 2) liest ! darstellenden Kurve in einem Punkte P(x, y), 

 man die Ungleichung ab: in welchem sie eine Tangente besitzt, die den 



sin x < x< tg x, 1 < x < Winkel a mit der x-Achse bildet, betrachten 



" sin x cos x w ir die GroBe tga. Urn diese durch das 



Da lim cos x = 1, also auch lim - l = 1 ist, , analytische Gesetz der Funktion selbst 



ergibt sich unmittelbar: 



(2) 



lim 



s 



x = o COS X 



= 1. 



Fig. 2. 



Ein anderes Beispiel erhalten \vir, wenn wir 

 in der Formel (1) statt der ganzen Zahl n den rezi- 

 proken Wert der Variabeln x setzen und diese 

 gegen Null konvergieren lassen; dann zeigt sich, 

 daB 



(3) 

 ist. 



lim (1 + x) x = e 



x = o 



Ist iiberdies 



b == f (a), 



so heiBt dieFunktion an der Stelle a stetig. 

 Eine in jedem Punkte eines Intervalles stetige 

 Funktion heifit in diesem Intervalle schlecht- 

 weg stetig. Die in den Anwendungen auf- 

 tretenden Funktionen pflegen mit Ausnahme 

 vereinzelter Punkte stetig zu sein. 



Samtliche oben als Beispiele betrachteten 

 Funktionen sind stetig. Ebenso ist die Funktion 

 y = a x stetig. Die Inverse dieser Funktion heiBt 



der Logarithmus von y zur Basis a: x = logy. 



Fiir Funktionen mehrerer Veranderlicher 

 lassen sich alle diese Betrachtungen in ana- 

 loger Weise durchfuhren. 



2. Infinitesimalrechnung fiir Funk- 

 tionen einer Veranderlichen. 2a) Defi- 

 nition des Differentialquotienten. Sei 



ausdriicken zu kb'nnen, fassen wir einen 

 anderen Punkt P I (x 1? y x ) der Kurve ins Auge. 

 Aus den Koordinaten von P und P t be- 

 rechnet sich der Winkel (3, den die Sekante 

 mit der x-Achse bildet, offenbar durch 



die Gleichung 



(4) 



*/- 



X l~ 



LiiBt man nun P^ gegen P riicken, so strebt 

 die Sekante der Tangente als Grenzlage zu, 

 und /3 strebt gegen a; hieraus ergibt sich fiir 

 das MaB der Steilheit 



(5) tga == lim tg/? == lim ^i^- 



. lim 



t X 



Man bezeichnet diesen Limes als den 

 Differentialquotienten oder die Ab- 

 leitung der Funktion an der Stelle x 



dy 

 und gebraucht fiir ihn die Symbols -p (Leib- 



niz) oder f'(x) (Newton) oder kurz y'. Die 

 erste Schreibweise soil andeuten, daB der 

 Differentialquotient der Limes des Quo- 

 tienten zweier gegen Null konvergierender 

 Differenzen ist. 



Der Differentialquotient der Funktion y = 

 konst. ist offenbar Null; die lineare Funktion 

 y = ax + b hat die Ableitung y' := a. Um die 

 Ableitung der allgemeinen Potenz y = x n zu 

 berechnen, bilden wir 



. n 2 



n 3 



LaBt man jetzt x t gegen x konvergieren, so 

 werden in der Grenze alle n Glieder der rechten 

 Seite gleich x n ~ r , und man erhalt 



(6) dx - =nx n - 1 . 



dx 



Welter berechnen wir die Ableitung der Funk- 

 tion y = sinx; es ist 



X ~l~ X X X 



yj y = sin x 1 sin x =- 2 cos - - sin - , 

 also 



x, x 



sin 

 x 2 



x, x 



x, x 



(7) 



Wegen Gleichung (2) ergibt sich hieraus 

 d sin x 



dx 



= COS X. 



Ganz ebenso findet man 



y == f (x) eine durch Fig. 3 reprasentierte 

 Funktion. Als MaB fur die Steilheit der 



d cos x 

 ~dxT 



- sin x. 



