i in 



[nfinitesimaLrechnune; 



Uin die Kunktion y = a* zu differentiieren, 



bilden wir 



y cine Kunktion von x: y == f(qp(x)). Dann 

 die 



Setzen wir 

 oder 



so wird 



IT "IT Q *M O ^ 



yi y _ 5_ ~ a _ 



X! X 



a 



-1 



u x ' -l = u 

 Xl -x - log (u + 1) 



u 



lOg (U + 1) ]og (1 + u) u 



da lim u = ist und nach Gleichung (3) 



ist, so folgt 

 (9) 



lim (1 + u)u = e 



n=o 



da* 

 dx 



loge 



Besonders einfach wird diese Formel fiir die 

 Basis e. weil log e == 1 ist: 



(10) *?! = e*. 



dx 



Man nennt dieses Logarithmensystem das 

 ..natiirliche" und schreibt kurz 



log x == log nat x oder In x. 



2b) Differentiationsregeln. Zur Be- 

 stimmung des Differentialquotienten kom- 

 plizierterer Funktionen dienen folgende ein- 

 i'ache Regeln: 



I) 



dcf(x) df(x) 



dx 



C r ' 



dx 



wenn c eine Konstante ist. 





dx dx dx 



Der Beweis dieser beiden Regeln folgt un- 

 mittelbar aus der Definition des Differential- 

 quotienten. 



dj(x^(x) _ drfx) (x) clfM 

 dx dx dx 



III) 



dy _dl'(z)_ 

 dx~ dz dx 

 Denn die triviale Gleichung 



ji y == yi y. zi z 



X x X Z x Z Xj X 



bleibt in der Grenze fur x x == x bestehen. 



VI) Fiir die Umkehrfunktion x = 

 einer Funktion y==f(x) folgt ohne weiteres 

 aus der Bildungsweise des Differenzen- 

 quotienten : 



dy " df(x) 

 dx 



Mit diesen Regeln kann man wesentlich 

 alle elementaren Funktionen differentiieren, 

 Z. B. liefern die Regeln I und II den Diffe- 

 rentialquotienten eines beliebigen Polynoms 

 y == a + a,x + a,x 2 + . . . + a n x n : 



(U) 



^ - a, + 2a 2 x + . . . + 

 dx 



Die Quotientenregel liefert die Ableitunj 

 gebrochenen rationalen Funktion, z. I 



y= = x m ; man erhalt 



x m 



jeder 

 von 



Setzt man m == n, so haben wir hiermit auch 

 fiir negative ganze Zahlen die Gleichung (G) 



dx n 



.n i 



dx 



bewiesen. DaB sie auch fiir gebrochene Exponen- 

 ten gilt, folgt ans den Regeln V und VI folgender- 

 mafien: 



JL JL 



Wir setzen y == xi == z p , wo z = xqist(p,q 

 ganze Zahlen); dann ist nach V 



dx 



dx 



Zum Beweise bilden wir den Differenzen- 

 quotienten; setzen wir y==f.<j9, so wird 



j X 



+ 



Der Grenzwert hiervon fiir x x == x ist 

 M! leu h;ir der oben angcgebene Ausdruck. 

 ( i:uiz ebenso zeigt man, daC 

 ,f(x) ,lf(x) d v (x) 



V) I- 1 y : f(z) und / - -- (p(\), so wird 

 durch J'jiiM-tx.en von z in den Ausdruck f 



nun ist aber z = xq die inverse Funktion von 

 x = z q , also ist ihre Ableitung 



Daraus folgt: 



dv p P q p 



L z = "- x 

 dx q q 



Damit ist auch fiir gebrochene Werte von n die 

 Gleichung ((1) bewiesen, und ein Grenziibergang 

 /('i^t, dali sie auch fiir irrationale Werte von n 

 gilt. Weil ere llcispiele fiir die Anwendung der 

 obigen Regeln si ml: 



cos 2 x' 



(13) 



dx 



ilctgx -! 



dx 



_ 



sin 2 x' 



