Infinitesimalrechnung 



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20) Das unbestimmte Integral. Die 

 Integralrechnung nimmt ihren Ausgangs- wo x = 

 punkt von dem Umkehrproblem der ^(x) ist. 

 Differentiation : 



Es ist eine Funktion F(x) gesucht, deren 



Differentialquotient ^^ gleich einer ge- 



irV ~ J l \Jf' (|y 



die Umkehrfunktion von y = 



dx 



Von besonderer Wichtigkeit ist die fol- 

 gende Regel, die sich aus dem Satze III) von 

 Abschnitt b) ergibt und als die Regel der 

 Produktintegration" oder der ,,par- 



gebenen Funktion f(x) ist. Man nennt dann tiellen Integration" bezeichnet wird: 



F(x)das unbestimmte Integral von f(x) 

 und schreibt: 



F(x) 



= ff(x)dx. 



</ 



(III') /f 



Durch diese Forderung ist die Funktion 

 F(x) bis auf eine willkurlich bleibencle ad- 

 ditive Konstante eindeutig bestimmt. Denn 

 seien F(x) und $(x) zwei der Forderung ge- 

 niigende Funktionen, so muB die Funktion 

 y == F(x) $(x) nach den Regeln I) und II) 

 von b) iiberall eine verschwindende Ableitung 

 haben. Dann aber folgt nach dem Mittel- 



/V(x)f( 

 e/ 



x)dx. 



Z. B. ist 



/xsinxdx = : fxfc^dx 

 J t) dx 



- XCOS X + I 



cos xdx = - x cos x -f sin x. 



Ferner 



naoen. Dann aber lolgt nacn clem Mittel- n p , , /* 1 



wertsatze, daB auch der Differenzen quotient | In xdx == | In x^ x dx == xln x I x . dx 

 dieser Funktion v fiir iedes Intervall ver- e/ J dx <v 



y lur jed 



schwinden muB, d. h. y hat in alien Punkten 

 denselben Wert, ist konstant, etwa gleich c. 

 Daher ist 



= x(Inx 1). 



F(x) 



= c. 



Fie Formeln (6) bis (16) liefern nun unmittel- 



Die 



2d) Das bestimmte Integral. 

 Bestimmung der in dem unbestimmten Inte- 

 gral auftretenden willkilrlichen additiven 

 Konstanten pflegt man vorzunehinen, indem 



bar die Integralformeln : 



Handworterbuch der Naturwissenschaften. 



man von der Funktion F(x) fordert, daB 



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