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[nfinitesimalrechnung 



sie fiir einen bestimmten ,,Anfangswert' 

 x = = a verschwindet. 1st 



= / f(x 

 v 



)dx 



irgcml eines dor moglichen unbestimmteri 



Iniegrale. so \vird unsoro Korderung befriedigt 

 durcli die Funktion 



F(x)== *(x)--*(a); 



$(a) 1st also die gesuchte Integratinns- 

 konstante. Man bezeichnot oinen Ausdruck 

 der Form 



D 



*(a) == / i'(x)dx 



ej 



als das bestimmte Integral der Funk- 

 tion f(x) zwischen a und b. 



Die geometrische Bedeutung dieser De- 

 finition erhellt aus folgender Betrachtung. 



Er sei J a (x) der Flacheninhalt, der von 

 der x-Achse, den Ordinaten in den Punkten 

 a und x und der Kurve y == f(x) begrenzt 

 wird; diesen kann man als Fnnktion von x 

 ansehen. Wir behaupten, da8 der Differen- 

 tialquotient dieser Funktion gleich f(x) 1st. 

 Zum Beweise betrachten wir den Flachen- 

 inhalt des Streifens, den die Ordinate be- 

 schreibt, wenn man von x nach x x iibergelit; 

 die Grb'Be desselben ist ot'fenbar (Fig. 5) 



gleich J a (x 1 ) J a (x) und liegt bei hin- 

 reichend nahem X! zwischen den Inhalten 

 der beiden gezeichneten Rechtecke, namlich 

 (x x x) f(x) und (x x x) f(xj). Der Diffe- 

 renzenquotient liegt daher zwischen den 

 Werten l'(x,) und f(x) und konvergiert gegen 

 f(x), wenn x x gegen x konvergiert: 



gewinnt man eine andere Definition 

 des bestimmten Integrales, die fiir viele 

 A n \\oiHlimn-en die sachgemaBe Grundlage 

 bildet. 



.Man kann namlich den Flacheninhalt 

 untor einer Kurve unabhangig als oinon 

 Grenzwert det'inieren. Hierzn denkt man 

 sich das Intervall von a bis b in n gleiche 



Teile von der Lange h = - eingeteilt und 



die Kurve y = - f(x) eingeschlossen zwischen 

 das eingeschriebene und das umschriebene 

 treppenformige Polygon, dessen Ecken auf 

 der Kurve iiber den Teilpunkten liegen 

 (Fig. 6). Dann ist, wenn die Kurve fort- 



dx 



J a (x 1 ) Ja(x) = { , . 



Da n n 11 offenbar J a (a) ==0 ist, ist J a (x) 

 das bestimmte Integral von f(x) zwischen 

 a und x: 



A 



= = ^f(x)dx. 



l>.-i- bos ti 111 mto Integral ist also nichts als 

 der botra.c!itoto Kliichoninha.lt. Indem man 

 dieseEigenschafl /.inn Ausgangspunktenimmt, 



Fig. 6. 



wahrend wiichst oder fallt, der fragliche 

 Flacheninhalt eingeschlossen zwischen den 



Grenzen 

 h[f(a) 



und 



f(a + h) + f(a + 2h) 



f(a + (n-l)h) 



Das bestimmte Integral kann also als 

 Grenzwert einer dieser GroBen bei wachsen- 

 dem n definiert werden. 



Die hier gemachten Einschrankungen sind 

 nicht wesentlich und lassen sich leicht be- 

 seitigen. 



2~e) Hohere Differentialquotienten. 

 Man kann den ProzeB der Differentiation 

 auf die Ableitung einer Funktion anwenden. 

 Sei y = f(x) irgendeine Funktion, 

 = = df(x) fff ^ 



J 



die 



dx 



d'f(x) 

 ihre Ableitung, so nennt man ^ x 



,,zweite Ableitung" oder den ,,zweiten 

 Differentialquotienten" von f(x) und 

 bezeichnet. ihn mit 



" __ dffi) = - Cl2f ^ - f" (x) 

 dx dx- 



Analog definiort und bozoichnet man die 

 d r i 1 1 e , v i e r t e , 



Ableitung: 



)_ r>( } 

 dx' ( >' '" 



