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allgemeiu 



So z. B. ist 

 d 2 x m 



dx- 



= m(m 1 



,.m 2 



allgemein 



= (ra 1) (m 2) . . . (m (n + 1) ) x 1 

 (m < n). 



d n x m 



dx n 



(26) 



Ferner 

 (27) 



(28) 



d n l/x , nnnl. 

 dx" x^' 



dV 



"d 



_ 



Fiir y = sin x bilden die Ableitungen den 

 periodischen Z,yklus 



(29) y = sin x, y' = cos x, y" - sin x, 



y'" - cos x, y'" = sin x, . . .; 

 fur y == cos x erhalt man ebenso 



(30) y == cos x, y' = - sin x, y" - cos x, 



y'" = sin x, y"" = cos x, . . . 



2f) Maxima und Minima. Eines der 

 iiltesten Probleme der Differentialrechnung 

 ist die Bestimmung der Maxima und 

 Minima einer Funktion. 



Man sagt, eine Funktion y - - f(x) habe 

 an einer Stelle x == a ein Maximum bezw. 

 ein Minimum, wenn die Funktionswerte in 

 der Nachbarschaft der Stelle samtlich kleiner 

 bezw. groBer sind als f(a). 



Fiir ein Maximum ist danach der Diffe- 

 renzen quotient 



f(x)-f(a) 

 x-^a 



in der Nahe der Stelle x - - a positiv oder 

 negativ, je nachdem x rechts oder links 

 vom Pnnkte a liegt. Sein Grenzwert wiirde 

 sich daher > erweisen, wenn x von rechts 

 an a heranriickt, und < 0, wenn x von links 

 an a heranriickt. Da unter der Annahme, 

 daB f(x) einen stetigen Differentialquotienten 

 besitzt, dieser Grenzwert eindeutig bestimmt 

 ist, so folgt, daB er den Wert hat. Eut- 

 sprechendes gilt fiir das Minimum. Wir er- 

 halten den Satz: Wenn eine Funktion mit 

 stetigem Differentialquotienten im Innern 

 eines Intervalles ein Maximum oder Minimum 

 besitzt, so verschwindet dort ihr Differential- 

 quotient. 



Geometrisch driickt dieser Satz die an- 

 schaulich eviclente Tatsache aus, da6 bei 

 einem Maximum oder Minimum die Tan- 

 gente an die Kurve y = - f(x) horizontal ist 

 (Fig. 7). 



So sind z. B. die Maxima und Minima von 

 y = sin x die Nullstellen der Ableitung y' = cosx, 

 d. h. die Stellen 



, 7t i 



2' 



, 



: ' 







^X 



Fig. 7. 



Ein weiteres Beispiel bietet die geometrische 

 Aufgabe, einen Punkt x der x-Achse zn suchen, 

 fiir welchen die Summe der Entfernungen von 

 zwei gegebenen, oberhalb der x-Achse gelegenen 

 Punkten P^a^, bj und P 2 (a 2 , b,) ein Minimum 

 wird (Fig. 8). Wir haben dann die Funktion 



f(x) == y(x-a 1 ) 2 + b 1 2 

 zum Minimum zu machen. 



Fig. 8. 



Die Bedingungsgleichung lautet 



f (x) = 



x a, 



= 0. 



}'(x aj) 



]/(x a.,) 2 + b 2 2 



Dies sagt geometrisch aus, da8 die Verbindungs- 

 linien des Punktes x mit P l und P 2 gleiche _^ei- 

 gung gegen die x-Achxe haben miissen (Spiege- 

 lungsgesetz). 



Ob ein Maximum oder Minimum vorliegt, 

 erkennt man aus dem Vorzeichen der zweiten 

 Ableitung. Demi im Falle des Maxiinums 

 mu8 der Winkel a zwischen Tangente und 

 x-Achse abnehmen, wenn man in Richtung 

 wachsender x das Maximum passiert; brim 

 Minimum muB a dabei zunehmen. Die 



Funktion tga = = f'( x ) nimmt also beim 



Maximum ab, beim Minimum zu, d. h. es ist 



d 2 y ^ <0 beim Maximum, 



dx^/>0 beim Minimum. 



d 2 y 

 Der Grenzfall ^-4 2 = -- ist dabei ausge- 



nommen ; er entspricht im allgemeinen einem 

 Wendepunkte (Fig. 9j. 



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