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Infinitesimal rechimiii 



So ist bei dcr Kimktion y == sin x die zweite 

 Ablcitung y" - sin x, es ist also z. 13. die 



Stellc x = ein Maxiniim, x = 



2 



ein Mini- 



mum. 



Fig. 9. 



2g) Unendliche Reihen. Zur prak- 

 tischen Berechnung von Zahlen oder Funk- 

 tionen bedient man sich hautig ernes beson- 

 deren Typus von Grenzprozessen, der ,,un- 

 endlichen Reihen". 



Seien a x , a 2 , a 3 , . . . unendlich viele, durch 

 irgendein Gesetz gegebene Zahlen. Wir 

 bilden der Reihe nach die Summen 



, l -(- a 2 , s 3 == a x -|- 

 s 4 -- a, -- a 2 -)- a 3 -f- a 4 , . . . 



Wenn nun der Grenzwert 



lim s n 



n = oo 



existiert, so nennen wir 



&1 -f- a 2 -f- a a -|- ... 

 eine ,,konvergente Reihe" und 



s = lim s n = a x + a 2 + a 3 



n = OO 



ihre Sum me. 



Ein bekanntes einfaches Beispiel einer kon- 

 vergenten Reihe ist die ,,geometrische Reihe" 



(31) l + x+ x 2 + ..... = l=x~' 



Es ist klar, daB bei einer konvergenten 

 Reihe das Glied a n mit wachsendem n gegen 

 Null konvergieren inuB. Doch reicht diese 

 Forderung nicht hin, wie das Beispiel der 

 iiicht konvergenten (divergenten) ,,harmoni- 



schen" Reihe ! + 



3 + -4 + 5 + 



zeigt. Wenn nicht nur die Reihe a x + a 2 

 + a 3 -f- . . . , sondern auch die Reihe der ab- 

 soluten Betrage (aj + |a. 2 | + |a 3 | + ... 

 konvergiert, so heiBt die Reihe ,,absolut" 

 oder ,,unbedingt" konvergent. Alle anderen 

 Reilien heition ,,bedingt" konvergent, 



So ist z. B. die Reihe 1 V 2 + V 3 V*+ 

 konvergent. 



Von allgenieinen Konvergenzsatzen er- 



\\ir nur die beiden i'olgenden: 

 I. Mine Reihe mit gcgcn Null abnehmen- 

 (ilicdcrn konvergiert slcts dann, wenn 

 die Glieder abwechselndes Vorzeichen liaben. 



2. Eine Reihe konvergiert immer dann 

 absolut, wenn die absoluten Betrage ihrer 

 (ilieder kleiner sind als die der entsprechen- 

 den Glieder einer absolut konvergenten Reihe. 



Haufig vorkommende konvergente Reihen 

 sind: 



(32) 1 + 



_ __ 



6' 



4" 



(33) 1 + 1 + i + ~ + 



(34) 1 - - y + y * + .... 



Sind die Glieder a a , a 2 , ... einer unend- 

 lichen Reihe Funktionen von x, so stellt die 

 Reihe 



a^(x) -j- a (x) - ... = s(x) 



eine Funktion von x in einem Intervalle von 

 a bis /j dar, wenn die Reihe fiir jeden Punkt 

 x des Intervalles konvergiert. 



Ein Beispiel hierfiir ist die geometrische 

 Reihe (31) als Funktion von x. 



Ist die dargestellte Funktion s(x) hin- 

 reichend stetig und differentiierbar, so darf 

 man in den meisten, bei den Anwendungen 

 auftretenden Fallen den Differentialquotien- 

 ten und das Integral der Funktion s(x) 

 bilden, indem man diese Operationen an 

 jedem Gliede der Reihe vornimmt. 



Integriert man z. B. die geometrische Reihe 



1 x 



gliedweise zwischen den Grenzen und x (wo 

 x| <1 bleiben muB, damit die Reihe konver- 

 giert) so erhjilt man: 



XX XX 



/* f 3 /** /"* 



/J 1 ^ /l.dx + /xdx+ /x 2 dx+ . . . .; 

 f l 1 x J f t </ 



o o o o 



die linke Seite ist offenbar gleich log(l x), 

 da die Ableitnng dieser Funktion gleich ist 



J- A 



und sie fiir x=0 verschwindet; es ergibt sich also 

 die ,,logarithmische Reihe": 



O Q 



(34) log (\ x) = x + X 2 + y + ^ + . . 



die fiir alle x <1 konvergiert. 



2h) Potenzreihen. Ein besonders 

 wichtiger Spezialfall von Reihen, deren 

 Glieder Funktionen von x sind, sind die 

 ,, Potenzreihen", die die Form 



I^X) - - C!Q cl^X ~~\~~ -I .\ ~j~ (igX ~J~ ... 



haben und fiir die wir oben einige Beispiele 

 kennen gelernt haben (Formeln 31 und 34); 

 oder allgemeiner 



f(x) = a -}- aj(x a) + a 2 (x a) 2 + . . . 



Diese zeichnen sich dadurch aus, daB 

 man sie, solange sie konvergent sind, glied- 

 weise differentiieren und integrieren darf 

 und auf diese Weise eine Darstellung fiir die 



