Infinitesiinalrecrmung 



421 



Koeffizienten a n , a 1? ... durch die Werte der 

 sukzessiven Ableitungen an der Stelle x -- a 

 erhalten kann. Bildet man namlich der 

 Reihe nach die Diff erentialquotienten : 



f'(x)=l.a 1 + 2a a (x a) + 3a 3 (x a) 2 + . . ., 

 f"(x)=1.2a 1 + 1.2.3a 3 (x a) + . . . 



und setzt hierin x -- a, so finclet man: 

 a =f(a), a!=f'(a), ^=^-^i"(a), 



a 8~~~l 2'3 ^ a '' '"" 



Die Entwi'ckelung der Funktion f(x) 

 laBt sich also folgendermaBen schreiben: 



f(x) = f(o) + f'(a).(x-a) + -("-a) 2 



Diese Entwickelung heiBt die Taylor- 

 sche Reihe der Funktion an der Stelle 

 x -= a. Es zeigt sich, daB die in den An- 

 wendungen vorkommenden Funktionen, von 

 vereinzelten Ansnahmestellen a abgesehen, 

 sich stets in solche Taylorsche Reihen ent- 

 wickeln lassen. 



So gelten z. B. an der Stelle x=0 die fol- 

 genden Entwickelungen : 



(35) e x = l+ x + ~ + - 



1 1.2 1.2.3 



denn es ist die n-te Ableitung der Funktion e x 

 selbst gleich e x , hat also an der Stelle x=0 den 

 Wert 1. Ferner wird: 



-\-3 Y* 



(36) sin x == x - 



A _ 4. 



1.2.3.4 



1.2.3 1.2.3.4.5 



(37) cosx = 1 x * + _ 1- , 



1.2 1.2.3.4 



wie man aus den Formeln (29) und (30) fiir die 

 hoheren Ableitungen dieser Funktionen ablesen 

 kann. 



Ebenso bestatigt man, daB man die oben an- 

 gegebenen Reihen, die ,,geometrische" (31) und 

 die ,,logarithmische" (34) als Taylorsche Reihen 

 auffassen kann. SchlieBlich erhalt man die 

 Binomialreihe 



(38) (l + x) n = 1 + n x + n ^ n ~ 1 ) x 2 + 



1 1.2 



D(n-l) (n-2) s n (n-l)(n-2)(n-3) . , 

 ~TO~ T.2.3.4 



welche fiir beliebige Exponenten n und fiir alle 

 |x <1 gilt. Ist n eine positive gauze Zahl, so 

 bricht die Reihe an der n-ten Stelle ab, und man 

 erhalt den bekannten ,,binomischen Lehrsatz". 

 21) Fouriersche Reihen (Genaueres s. 

 in dem Artikel ,,F o u r i e r s c h e s T h e o r e m"). 

 Nachst den Potenzreihen sind fiir die An- 

 wendungen am wichtigsten die ,,trigono- 

 metrischen Reihen", welche die Form 



(39) f(x) = -j- -f- a, l cos x 

 + b t sin x + b 2 sin 2x + 



a 2 cos 2x+ 

 b 3 sin 3x + . 



haben. Wenn eine solche Reihe hinreichend 

 konvergiert, um sich gliedweise integrieren zu 

 lassen, so gestattet sie ebenfalls eine einfache 

 Darstellung der Koeffizienten durch die 

 Funktion f(x). Multipliziert man namlich 

 die Reihe mit cos nx oder sin nx und inte- 

 griert sie zwischen und 2yr, so erhalt man 

 wegen der leicht zu beweisenden Relationen: 



271 271 



I cos 2 nxdx = 7i, I sin 2 nxdx = n, 



cos nx cos mxdx = 



/ 



o 



27, 



I sin nx si 



eJ 



sin mxdx = 



fiir m =t n 



sin nx cos mxdx = fiir alle m, n 



die Ausdriicke: 



(40) 



an 



271 



1 / 



= - I f(x) 



n J 



cos nxdx, 



271 



1 ft 



b n - I f(x) sin nxdx. 

 n J 



Die Entwickelung (39) heiBt dann die 

 ,,Fouriersche Entwickelung" der Funk- 

 tion f(x) im Intervalle von bis %TI. AuBer- 

 halb des Intervalles von bis 2n wieder- 

 holen sich die Werte der Reihe periodisch 

 mit der Periode 2jt. 



Man kann durch solche Fouriersche 

 Reihen nicht nur Funktionen mit einfachem 

 analytischen Bildungsgesetze und iiberall 

 stetigem Differentialquotienten nsw. dar- 

 stellen, sondern in sehr weiten Grenzen auch 

 Funktionen, deren Bildungsgesetz kompli- 

 ziert, etwa fiir verschiedene Intervalle ver- 

 schieden ist, und deren Kurven Ecken be- 

 sitzen konnen. 



So wird z. B. die durch Figur 10 dargestellte 



71 2 ft 371 H-TT ' 



Fig. 10. 



Funktion, die in dem Intervalle von bis n 

 gleich x, von n bis 2n gleich 2:r x ist, durch 

 folgende Reihe dargestellt: 



