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Iiifiiiitrsimalnvlimmi;- 



7T 



I 



_' /cos x 



rrlT*~ 



I-DS 3x . cos 5.\ 



.1.1 I " ~ ^ " 1 



Die Bedeutung dieser Entwickelung be- 

 steht darin, daB sie eili llill'smittel darbietet, 

 inn beliebige Yorgilnge a,ls Superposition 

 von periodiscKen Vorgangen darzustellen (z. B. 

 die Auflosung eines Ivlanges in Harmonise lie 

 Obertone). 



3. Infinitesimalrechnung fiir Funktio- 

 nen mehrerer Veranderlichen. 3a) Par- 

 tielle Differential qiiotienten und 

 totales Differential. Wie schon unter 

 Id) hervorgehoben, lassen sich die Betrach- 

 tungen iiber Stetigkeit usw. auch auf Funk- 

 tionen mehrerer Variabeln ausdehnen. 

 Wir wollen uns hier zumeist auf zwei unab- 

 hangige Variable x und y beschranken. 



Sei z f(x, y) eine Funktion dieser 

 beiden Yariabeln, so heiBt sie an der Stelle 

 x = - a, y = = b stetig, wenn 



lim f(x, y) =- f(a, b) 



x = a 



y=b 



ist. wobei dieser Limes so zu verstehen ist, 

 daB die beiden Variablen x und y sich den 

 Werten a bezw. b unabhangig voneinander 

 in beliebiger Weise nahern. Man reprasen- 

 tiert eine solche Funktion durch eine iiber 

 der xy-Ebene im xyz-Raume ausgebreitete 

 Flache, fur welche z = = f(x, y) ist (Fig. 11). 



Fig. 11. 



Ist eine Funktion fiir jeden Punkt eines 

 Gebietes G der xy-Ebene stetig, so heiBt sie 

 in diesern Gebiete stetig. Denkt man sich 

 den Wert von y festgehalten, so wird z eine 

 Funktion von x allein; den Differential- 

 quotienten dieser Funktion nach x wenn er 

 existiert - - nennt man ,,partielle Ablei- 

 tung" der Funktion z nach x und bezeichnet 

 ihn (lurch eines der Symbole 

 &z df(x, y) 

 &x ' dx 



Ebenso definiert man die partielle Ab- 

 leitung nach y: 



fix _&f(x, y) 



ay 9y 



In derselben Weise werden die ho her en 

 partiellen Differentialquotienten tle- 



Tin icrt als partielle Ableitungen der par- 

 tiellen Ableitungen, und man bezeichnet sie 

 durch Symbole wie 



d 2 z 

 dy 2 ' 



dx 2 ' 



Dabei kann man zeigen, daB die Reihen- 

 folge der Differentiationen gleichgultig ist, 

 wenn die partiellen Ableitungen stetig sind. 

 Es ist z. B. 



dxdy dydx 

 1st z. B. z = sin(x+y), so ist 



= cos (x + y), = cos (x + y) ; 

 oder ist z = xy, so ist 



x ~ Ji ^ ~ 

 dx dy 



Geometrisch sind die partiellen Ablei- 

 tungen 1. Ordnung dadurch charakterisiert. 

 daB die Gleichung der Tangentialebene an 

 die Flache z =- f(x, y) im Punkte x , y , z 

 lautet: 



x 



(y-y ). 



Haben die Differenzen x -x Zlx. 

 y y == Ay kleine Werte, so werden iiber- 

 einander liegende Punkte der Flache und der 

 Tangentialebene nur wenig verschieden sein, 

 und man wird den durch die Gleichung 



df & 



dx d 



gegebenen Zuwachs von z approximativ als 

 Zuwachs der Funktion f(x, y) bezeichnen 

 konnen. Sind die Zuwachse zlx, Ay, A'i 

 so klein, daB man den dabei gemachten Fehler 

 vernachlassigen darf, so nennt man sie haufig 

 ,,Differentiale" und gebraucht die Sym- 

 bole dx, dy, dz; man schreibt dann 



(42) 



dz = 



dx 



dx 



und nennt die rechte Seite ,,das to tale 

 Differential" der Funktion f(x, y). 



3b) Das Linienintegral. In der xy- 

 Ebene sei eine Kurve C dadurch definiert, daB 

 x und y als Funktionen einer dritten Variabeln 

 (Parameter), etwa der von einem bestimmten 

 Anl'angspunkte A gezahlten Bogenlange s, 

 gegeben sind (Fig. 12): 



x == f(s), y == g(s). 



Sind ferner zwei mit stetigen partiellen 

 Ableitungen versehene Funktionen P(x, y), 

 Q(x, y) gegeben, so bezeichnet man den 

 Ausdruck 



f(Pdx Qdy) 



e/ 



