Infinitesimalrechnung 



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als das vom Punkte P a zum Punkte P 2 der 

 Kurve C erstreckte Li nien integral des 

 Differentialausdruckes Pdx + Qdy und 



Fig. 12. 



versteht darunter das gewohnliehe bestimmte 



Integral 



wobei Sj und s 2 die den Punkten P l und P 2 

 zugehorigen Werte der Bogenliinge s sind' 



In den physikalischen Anwendungen er- 

 hebt sich haufig die Frage, wie die Funk- 

 tionen P(x, y) und Q(x, y) beschaffen sein 

 miissen, damit dieses Integral nur von der 

 Lage der Punkte P } und P 2 , nicht mehr' von 

 der Wahl des Verbindungsweges C abhangt. 



Bezeichnen wir die Koordinaten des 

 Punktes P 2 init x und y und denken uns den 

 Punkt PJ festgehalten, den Punkt P 2 variabel, 

 so ist im Falle der Unabhangigkeit des Inte- 

 grales vom Wege dieses eine Funktion z = 

 F(x, y), und es ist anschaulich klar 

 und leicht streng beweisbar, daB der Ausclruck 

 Pdx + Qdy gleich dem totalen Differential 

 der Funktion F(x, y) ist. Es ist also 



dF dF 



P O - 



dx' v " by' 



und wegen der Vertauschbarkeit der Diffe- 

 rentiationsfolge (Formel 41) 1'olgt hieraus 

 fiir P und Q die Bedingung 



(43) 



by bx 



Diese Bedingung erweist sich als not- 

 wendig und hinreichend fiir die Unabhangig- 

 keit des Linienintegrales vom Wege. 



In der Thermodynamik sind z. B. die ,, Arbeit" 

 und die ,,Warrne" Linienintegrale, die vom Wege 

 abhangen; ihre Summe, die ,,Energie", ist vom 

 Wege unabhangig. In der Theorie des Elektro- 

 magnetismus ist das Linienintegral der magne- 

 tischen Feldstarke vom Wege unabhangig, so- 

 lange dieser nur so yerandert wird, daB er keine 

 elektrische Stromlinie schneidet. 



3c) Mehrfache Integrale. Der Inte- 

 gralbegriff laBt sich auf die Funktionen 

 niehrerer Variabeln verallgemeinern. 



Man geht hier zweckmafiig von der Be- 

 trachtung des bestimmten Integrales aus. 

 Es sei G ein Gebiet der xy-Ebene, f(x, y) 



eine in diesem Gebiete stetige Funktion. 

 Man denke sich das Gebiet etwa durch eine 

 quadratische Einteilung in eine groBe Zahl n 

 yon Teilgebieten eingeteilt, deren Flachen- 

 inhalt, abgesehen von den an den Rand 

 stofienden Gebieten, bei alien denselben 

 Wert h hat (Fig. 13). 



il 



Fig. 13. 



In jedem dieser Teile wahlen wir irgend- 

 einen Punkt init den Koordinaten x l5 y x ; 

 x 2 , y 2 , ... und bilden die Summe 



h(f(xi, yi) + f(x 2 , y 2 ) + + f(x n , y n )], 



welche offenbar die Summe der Rauminhalte 

 der kleinen Parallelepipede darstellt, deren 

 Grundflachen die Teilgebiete und deren 

 Hohen die Funktionswerte an den Stellen 

 Xj, y x ; x 2 , y 2 . . . sind. Die Summe approxi- 

 miert daher den iiber dem Gebiete G zwischen 

 diesen und der Flache z -- f(x, y) gelegenen 

 Raumteil, und zwar um so besser, je enger 

 die Maschenteilung, d. h. je groBer n ist. 



Den Grenzwert dieser Summe fiir wach- 

 sendes n, der also genau den betrachteten 

 Rauminhalt darstellt, nennt man das 

 ,,Doppelintegral der Funktion f(x, y) 

 iiber das Gebiet G" und bezeiclmet es mit 



/ 



t' f' 



f(x. y)dxdy. 



Istspezielldas Gebiet G ein parallel zu den 

 Koordinatenachsen orientiertes Rechteck, 

 so schreibt man das Integral auch so 



(44) 



x 2 y 2 



J J f(x, y)dxdy, 



wo die Zahlen x t y^ x 2 y 2 die Koordinaten der 

 Ecken des Rechtecks bedeuten. Mit dieser 

 Darstellung deutet man die Tatsache an, 

 daB man den Wert des Integrals auch er- 

 halten kann, indem man die Funktion f(x, y) 

 zunachst bei konstantem y (d. h. in horizon- 

 taler Richtung) als Funktion von x allein 

 zwischen Xi und x 2 integriert und die so ent- 

 stehende Funktion von y sodann zwischen 

 den Grenzen y^ und y 2 integriert (Fig. 14). 

 Dieselbe Auffassung und Darstellung (44) 

 ist auch allgemein zulassig, nur sind dann 

 Xj und x 2 nicht konstant, sondern hangen 

 von y ab: es sind namlich (wenn das Gebiet G 

 I konvex ist) die x- Koordinaten der Schnitt- 

 punkte einer im Abstande y von der x-Achse 



