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gezogenen Parallelen zur x-Achse mit der j Will man diese Variabeln zur Wertbe- 



Randkurve des Gebietes G (Fig. 15). Diese 



Fig. 15. 



Reduktion der mehrfachen Integrale auf eine 

 Sukzession einfacher Integrale ist eiue vielge- 

 brauchte Methode zur Wertbestimmung von 

 mehrfachen Integralen. 



So ist z. B. das Integral der Funktion z=xy 

 iiber das durch die beiden Einheitsstrecken der 

 Koordinatenachsen bestimmte Quadrat 



i i i 



J I xydxdy = : J ) xydxdy = I \-, 



oo 



!_ 



2 



Ist speziell die Funktion f(xy) 

 ist das Integral 



: 1, so 



gleich dem Flacheninhalte des Gebietes G. 

 Fiihrt man hier die Integration nach y aus, 

 so kommt man auf die friihere Darstellung 

 des Flacheninhalts (2d) durch ein einf aches 

 bestimmtes Integral zurttck. 



Haufig ist es zweckmaBig, zur Fixierung 

 eines Punktes P in der Ebene nicht die 

 rechtwinkligen Koordinaten x, y, sondern 

 ,,Polarkoordinaten" zu beniitzen, d. h. den 

 Abstand r vom Nullpunkte und den Winkel <p, 

 den der Radius Vektor mit der positiven x- 

 Achse einschliefit (Fig. 16). r und <p hangen 

 mit x und y durch die Gleichungen zu- 

 sammen: 



x = r cos 99 



y == r sin <p. 



stimmung des Integrales 



beniitzen, so legt man statt der recht- 

 winkligen Einteilung ein System von kon- 

 zentrischen Kreisen und Radien Vektoren 

 zugrunde. Die Gebiete, die gleichen Zu- 

 wachsen Ai und A<p entsprechen, sind 

 hierbei begrenzt von Stiicken zweier benach- 

 barten Radien der Lange Ar und Stiicken 

 zweier parallelen Kreisbb'gen der Lange 

 rA(p bezw. (r + Ar)A(p (Fig. 17). Der 



Fig. 17. 



Flacheninhalt eines solchen Teilgebietes wird 

 also angenahert dargestellt durch den Aus- 

 druck 



Sehen wir wieder AT Acp - - h und gehen 

 zur Grenze bei wachsender Feinheit der Ein- 

 teilung iiber, so erhalten wir, wie oben, 

 das Doppelintegral, das man konsequenter- 

 weise durch das Symbol 



f(r, 



bezeichnet und nunmehr durch sukzessive 

 Integration nach den Variabeln r und 99 be- 

 stimmen kann. 



Als Beispiele berechnen wir den Rauminhalt 

 der Halbkugel vom Radius a (Fig. 18). Fur 

 diese ist offenbar 



also 



z == a- 



Das Integrationsgebiet ist der Einheits- 



