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Elastizitt 



Es ist zunchst leicht einzusehen, da 

 diese neun Spannungsgren sich auf sechs 

 reduzieren, da die sechs Schubspannungen 

 paarweise gleich sind. Es gelten nmlich 

 die Beziehungen 



Xy = Y x 



Y Z = Zy 



z x = x z . 



Dies kann man folgendermaen einsehen: 

 Da beliebige Teile des Krpers im Gleich- 

 gewicht sein mssen, so knnen wir dieses 

 Prinzip auf einen Wrfel von der Kanten- 

 nge Ax Ay = Az anwenden (s. Fig. 3) 



und die Bedingung ausdrcken, da die Krfte 

 kein Drehmoment ausben, das das Volum- 

 element drehen wrde. Wenn auch eine 

 stetig verteilte uere Kraft (z. B. Schwere) 

 vorhanden ist, so kann sie doch kein merk- 

 liches Drehmoment ausben, weil ihre Besul- 

 tierende angenhert durch den Schwerpunkt 

 des Wrfels geht, und zwar um so genauer, 

 je kleiner der Wrfel ist. Ein merkliches 

 Drehmoment kann also nur von den Span- 

 nungen herrhren. Kechnen wir z. B. das 

 Drehmoment aus, welches um die y-Achse 

 dreht, so kommen zwei Krftepaare in 

 Betracht, und zwar die Spannungen X z an 

 den Flchen AxAy mit dem Hebelarm Az 

 und die Spannungen Z x an den Flchen AyAz 

 mit dem Hebelarm Ax. Diese beiden Krfte- 

 paare mssen im Gleichgewicht sein, woraus 



folgt 



oder 



X z .AxAy.Az = Z x .AzAy.Ax 



vllig festlegen. Wenn dies der Fall ist, 

 so mu es mglich sein, die Spannung in 

 bezug auf eine beliebige Ebene durch diese 

 sechs Komponenten auszudrcken. Man 

 kann nun in der Tat zeigen, da dies immer 

 mglich ist. 



Zu diesem Zwecke betrachtet man ein 

 Tetraeder mit den Kartenlngen Ax, Ay, z/z. 

 (s. Figur 4). Ein solches Tetraeder mu offen- 

 bar ebenfalls im Gleichgewicht sein, wie jeder aus- 



Ebenso 



folgt 



Gleichgewieht 



X z = Z x . 



aus dem 



Drehmomente um die x- und z-Achse 



Gleichheit von Y z und 7 y bezw. von 



und Y x . Die Schubspannungen, die 



der 

 die 



X y 

 sich 



in einer Wrfelkante treffen", sind also 

 gleich. 



Es fragt sich nun, ob die sechs Spannungs- 

 komponenten X x , Y y , Z z , X y , Y z , Z x den 

 Spannungszustand in dem Punkte wirklich 



Fig. 4. 



geschnittene Teil des Krpers. Die Krfte in der 

 Richtung rhren von den Spannungskomponenten 

 Xx, Xy, X z und von der x-Komponente X n der 

 unbekannten Spannung Sn in bezug auf die 

 Flche ABC her. Da die Flchen, auf die die 

 drei erstgenannten Spannungen wirken, x / 2 AyAz, 

 1 / 2 AxAz, 1 / 2 AxAy betragen, so liefern diese 

 eine Kraft in der x-Richtung von der Gre 



Va (X x AyAz+X y AxAz+X x AzAy). 



Diese Kraft mu, wenn keine ueren Krfte 



wirken, der Kraft Xn.ABC das Gleichgewicht 

 halten. Da die drei Seitenflchen als Projektionen 

 der Flche ABC auf die Koordinatenebenen 

 entstehen, so gelten die Relationen: 



1 zlyzlz=ABC cos a 



V, zlzzlx=ABC cos 



7 2 zlxzly = ABC cos y 

 wobei a, , 7 die Richtungskosinusse der Normalen 



des Flchenelements ABC bezeichnen. Man hat 

 daher 



X x cos a + X y cos + X z cos y = X n . 

 In hnlicher Weise erhlt man Relationen fr 

 Yn und Zn. Diese Relationen mssen nun be- 

 stehen bleiben, wie klein auch Ax, Ay, Az ge- 

 whlt werden, d. h. auch wenn man mit der Ebene 

 ABC ganz nahe an den Punkt rckt. Man 

 sieht aber, da die Relation dann auch fr den 

 Fall gilt, da beliebige uere Krfte wirken, 

 da das Volumen und damit alle rumlich ver- 

 teilten Krfte" klein von der dritten Ordnung 

 werden : die uere Kraft wird bei Verkleinerung 

 des Tetraeders immer kleiner, whrend die Span- 

 nungen endlich bleiben. Rckt man mit ABC ganz 

 zum Punkte heran, so gehen Xn, Yn, Zn in 

 die Spannungen im Punkte in bezug 



