Elastizitt 



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auf die Flchenrichtung ABC ber, und da- 

 mit sind die drei Komponenten der Spannung 

 in bezug auf eine beliebige Ebene in der Tat 

 durch die sechs Spannungskomponenten ausge- 

 drckt. 



Der Spannungszustand in einem Punkte 

 kann durch folgende Darstellung geometrisch 

 veranschaulicht werden. Man kann eine Flche 

 zweiten Grades (eine sog. Spannungsflche) 

 in der Weise konstruieren, da jede Ebene 

 mit dem zugehrigen Spannungsvektor ein 

 Paar konjugierter Elemente bildet, d. h. 

 wenn wir die Richtung des Spannungs- 

 vektors als Fahrstrahl auffassen, so ist die 

 zugehrige Ebene parallel der Tangential- 

 ebene an die Spannungsflche am Endpunkte 

 des Fahrstrahls. Die Gre des Spannungs- 

 vektors kann man an dieser Darstellung 

 ebenfalls ablesen: ihre Normalkomponente 

 ist gleich dem Quadrat der Entfernung der 

 Tangentialebene von dem Mittelpunkt der 

 Flche, wodurch die Gre des Spannungs- 

 vektors selbst, da seine Richtung bereits be- 

 kannt ist, ebenfalls bestimmt wird. 



Der allseitig gleichen Druckverteilung (z. B. 

 in ruhender Flssigkeit) entspricht als Span- 

 nungsflche offenbar eine Kugel. Bei diesem 

 Spannungszustande steht die Spannung stets 

 senkrecht zu dem zugehrigen Flchenelement. 

 Man sieht aber unmittelbar ein, da dies nur 

 in diesem einzigen Falle zutrifft. Im allge- 

 meinen werden wir stets drei Ebenen finden, 

 die die Eigenschaft haben, da die Spannung 

 auf der Ebene senkrecht steht, so da in 

 diesen Ebenen keine Schubspannungen auf- 

 treten. Diese Ebenen sind die sogenannten 

 Hauptebenen", die zugehrigen Span- 

 nungen, die offenbar in die Richtung der 

 Hauptachsen der Spannungsflche fallen 

 und dem Quadrate derselben gleich sind, 

 nennt man ,, Hauptspannungen". Unter 

 den drei Hauptspannungen sind die 

 grte und die kleinste Spannung in 

 dem betreffenden Punkte enthalten, bezw. 

 die grte positive und die grte negative 

 Spannung. 



2. Der Deformationszustand. Man 

 kennt den Deformationszustand eines kon- 

 tinuierlichen Mediums vollstndig, falls man 

 fr jedes vor der Deformation aus dem 

 Krper herausgegriffene Linienelement Rich- 

 tung und Lnge nach der Deformation an- 

 geben kann (s. Fig. 5). Betrachten wir z. B. 

 ein Parallelepiped mit den Kantenlngen 

 Ax, Aj, /dz, so ist der Deformationszustand 

 desselben bekannt, falls wir die neuen Lagen 

 der Linienelemente und ihre neuen Lngen an- 

 geben knnen. In der Elastizittslehre nimmt 

 man nun an, da auf den Spannungszustand 

 nur die sogenannte reine Deformation", 

 d. h. die Lngennderungen und die relativen 

 Winkelnderungen der in dem Punkte zu- 



sammenlaufenden Linienelemente von Ein- 

 flu sein knnen. In dieser Annahme ist 

 Zweifaches ausgedrckt : 



a) Man macht die Voraussetzung, da eine 

 Translation oder Drehung des Volumelements 



Fig. 5. 



keine Spannungen hervorrufen kann. Dies 

 wird dadurch plausibel, da sonst eine reine 

 Drehung oder Translation des Gesamt- 

 krpers ebenfalls elastische Spannungen her- 

 vorrufen wrde, was der Erfahrung offenbar 

 widerspricht. 



b) Man stellt sich dadurch, da man fr 

 die Spannungen nur die Dehnungen und 

 Winkelnderungen des in dem betreffenden 

 Punkte zusammenlaufenden Achsenkreuzes 

 als magebend ansieht, auf den Standpunkt 

 der Nahewirkungstheorie". Der Einflu der 

 weiteren Umgebung wird vernachlssigt. 

 Diese Auffassung bildet zwar heutzutage 

 die Grundlage unserer Mechanik der Kon- 

 tinua, von dem Standpunkte der Molekular- 

 theorie aus ist sie aber nur als eine erste 

 Nherung zu betrachten. 



Die sechs Deformationsgren, die wir zu 

 betrachten haben, sind also die drei Lngen- 

 nderungen (Dehnungen) der Linien- 

 elemente: e x , y , z und die drei Winkel- 

 nderungen der drei Achsen: y xy , y yz , 

 y xz . Man erhlt reine Dehnungen, wenn 

 man annimmt, da das Parallelepiped ein 

 solches bleibt und nur die Kantenlngen 

 verndert werden. Andererseits erhlt man 

 den Fall reinen Schubs, falls wir alle Kanten- 

 lngen behalten und das Parallelepiped in 

 ein Rhomboeder berfhren. Aehnlicher- 

 weise wie durch die sechs Spannungskompo- 

 nenten die Spannung in bezug auf eine be- 

 liebige Flchenrichtung festgelegt ist, so 

 kann man aus den Dehnungen und Winkel- 

 nderungen eines einzigen Achsenkreuzes die 

 Dehnung eines beliebig gerichteten Linien- 

 elementes und die Winkelnderung zwischen 

 zwei beliebigen Linienelementen berechnen. 



