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Elastizitt 



Man findet in Analogie zu den drei Haupt- 

 ebenen, in denen die Schubspannungen ver- 

 schwinden, drei aufeinander senkrechte Linien- 

 elemente, die nur eine Dehnung und keine 

 Winkelnderung erfahren. Dies kann man am 

 einfachsten folgendermaen veranschaulichen : 

 Schneiden wir eine Kugel aus dem Krper 

 heraus, so wird diese bei der Deformation an- 

 nhernd in ein Ellipsoid bergehen ; alsdann 

 bilden die drei Hauptachsen ein Achsen- 

 kreuz, welches vor und nach der Defor- 

 mation aus drei aufeinander senkrechten 

 Linienelementen besteht. Die Dehnungen 

 dieser Linienelemente nennt man Haupt- 

 dehnungen". Diese enthalten die grte 

 und kleinste Dehnung, die irgendein durch 

 den betreffenden Punkt gezogenes Linien- 

 element erfahren kann (bezw. grte positive 

 und grte negative Dehnung). Offenbar 

 kann man den Deformationszustand statt 

 durch Angabe der sechs Dehnungskompo- 

 nenten in bezug auf ein behebiges Achsen- 

 kreuz auch dadurch festlegen, da man die 

 Gre und Orientierung der drei Haupt- 

 dehnungen angibt und dadurch das Ellipsoid 

 festlegt, in welches die Kugel bergegangen ist. 

 Unter Dehnung verstehen wir die spe- 

 zifische Lngennderung, d. h. die 

 Lngen ander ung der Lngeneinheit; und 

 zwar soll Verlngerung positiv, Verkrzung 

 negativ gerechnet werden. Sowohl die Deh- 

 nungen als die Winkelnderungen sind 

 dimensionslose Zahlen; sie lassen sich be- 

 rechnen, sobald die Verschiebungen der 

 einzelnen Punkte bekannt sind. 



Betrachten wir das Achsenkreuz X, Y, Z 

 im Punkte (s. Figur 6) und bezeichnen wir die 



S + Az 



s dz 



S+gAx 



A +^Ax x 



dx 



Fig. 6. 



Verschiebung des Punktes mit , tj, , wobei 

 diese Groen als abhngig von den Koordinaten 

 des Punktes x, y, z zu betrachten sind, so 

 werden die Endpunkte der drei Linienelemente 

 offenbar etwas vernderte Verschiebungen er- 

 fahren und zwar 



B: 



d d?i d? 



oz oz 9z 



Die Lnge z/x geht daher angenhert in 



ber, so da die spezifische Lngennderung 



X 



dx _d 

 dx ~ dx 

 betrgt. Ebenso ist die Dehnung nach der y- 



z- Richtung ^ und ^-. Was die Winkelnde- 

 y dz 



rungen anbelangt, so kann man diese auch durch 

 Differentialquotienten der Verschiebungen aus- 

 drcken. So besteht die Winkelnderung zwischen 

 der x- und z-Achse aus der Summe der beiden 

 Winkel 



i 



x 



z/x 



z/x 



fr. 



dz 



^y 



^y 



so da die Winkelnderungen durch die Formeln 



7xy 



7yz 



dx + dy 



dy + dz 

 d| + dz 

 dz dx 



yzx 



ausgedrckt werden. 



Die sechs Formnderungskomponenten 

 setzen sich also aus den Ableitungen der 

 drei Verschiebungen |, r\, 'Q linear zusammen. 

 Daraus folgt, da man nicht beliebige 

 Gren als Formnderungskomponenten an- 

 nehmen kann, sondern diese mssen gewissen 

 Bedingungen gengen, die es ausdrcken, 

 da sie eben von drei Funktionen , t], in 

 der angegebenen Weise hergeleitet werden 

 knnen. Man nennt diese Bedingungen 

 Kompatibilittsbeclingungen". 



3. Beziehungen zwischen Spannungen 

 und Deformationsgren. Das Hookesche 

 Gesetz. Wie wir in der Einleitung aus- 

 einandergesetzt haben, ist fr einen idealen 

 elastischen Krper der Spannungszustand 

 durch den jeweiligen Deformationszustand 

 vllig bestimmt und umgekehrt, d. h. die 

 sechs Spannungskomponenten und die sechs 

 Deformationsgren mssen miteinander 

 durch eindeutige funktionale Beziehungen 

 verknpft sein. Die mathematische Elasti- 

 zittstheorie nimmt fr die meisten Unter- 

 suchungen speziell eine Proportionalitt 

 zwischen Spannungsgren und Deforma- 

 tionsgren an. Fr eine groe Klasse von 

 Krpern liefert dies in der Tat eine recht gute 

 Annherung. Die Proportionalitt zwischen 

 Kraftwirkung und Deformation hat zuerst 

 in allgemeiner Weise Robert Hooke (1676) 

 ausgesprochen in der berhmten Aussage: 

 ut tensio, sie vis". Man nennt daher den 

 przisen Ansatz, der erst viel spter, nach der 

 durch Navier, Cauchy und Poisson er- 

 folgten Analyse des Spannungs- und Defor- 

 mationszustandes aufgestellt werden konnte, 



